質問＜６０４＞２００１／８／１７
from=まり
「2次方程式と関数」

問1
二つの2次方程式x2+ax+3a=0,x2-ax+a2-1=0について
(1) 少なくとも一方が解を持ちような定数ａの値の範囲を求めよ。
(2)ともに解を持たないような定数ａの値の範囲を求めよ。
問２
関数ｆ(x)=ax2-4x+a-3(ａは定数）が次の条件を満たすようなａの値の 
範囲を、それぞれ求めよ。
(1)すべての数ｘに対してf(x)は常に正の値をとる。
(2)f(x)はあるｘの値に対して正の値をとる。
(3)f(x)は正の値も負の値もとる。

お返事２００１／８／１９
from=武田

問１
（１）
｛ｘ2 ＋ａｘ＋３ａ＝０………①
｛ｘ2 －ａｘ＋ａ2 －１＝０………②
解を持つのは、判別式Ｄ≧０のときだから、

①より、解を持つのは、
Ｄ＝ａ2 －１２ａ≧０
ａ（ａ－１２）≧０
∴ａ≦０，１２≦ａ

②より、解を持つのは、
Ｄ＝ａ2 －４（ａ2 －１）≧０
３ａ2 －４≦０
（√３ａ＋２）（√３ａ－２）≦０
　　　２　　　　２
∴－――≦ａ≦――
　　√３　　　√３

少なくとも一方が解を持つのは、（①がもつ）または（②がもつ）の
和集合となるから、

　　　　２
∴ａ≦――　，１２≦ａ………（答）
　　　√３

（２）
ともに解を持たないのは、（１）の逆だから、補集合より、
　　２
∴――＜ａ＜１２………（答）
　√３

問２
（１）
ｆ（ｘ）＝ａｘ2 －４ｘ＋ａ－３において、
すべてのｘの値に対して、ｆ（ｘ）が常に正とは、次のようなグラフの
時である。

これは、下に凸より、ａ＞０

ｘ軸と交点がないから、判別式Ｄ＜０より、
Ｄ／４＝４－ａ（ａ－３）＜０
ａ2 －３ａ－４＞０
（ａ－４）（ａ＋１）＞０
∴ａ＜－１，４＜ａ

したがって、
４＜ａ………（答）

（２）
あるｘの値に対して、ｆ（ｘ）が正とは、次のようなグラフの時である。

これは、上に凸より、ａ＜０

ｘ軸と２つの交点があるから、判別式Ｄ＞０より、
Ｄ／４＝４－ａ（ａ－３）＞０
ａ2 －３ａ－４＜０
（ａ－４）（ａ＋１）＜０
∴－１＜ａ＜４

したがって、
－１＜ａ＜０………（答）

（３）
ｆ（ｘ）が正も負もとるのは、次のようなグラフの時である。

ｘ軸と２つの交点があるから、判別式Ｄ＞０より、
Ｄ／４＝４－ａ（ａ－３）＞０
ａ2 －３ａ－４＜０
（ａ－４）（ａ＋１）＜０
∴－１＜ａ＜４

したがって、
－１＜ａ＜４………（答）