質問

問１

次の問題をお願いします。

ある等比数列において、はじめの10項の和が2で、その次の20項の和が12
であるとき、その次の30項の和を求めよ。

問２
たてつづけにすみません。
次の問題がわからないので教えてください。

３直線４x+３y＝1，ａｘ－ｙ＝1，ｘ+ａｙ＝1について
（1）１点で交わるようなａの値を求めよ。
（2）３直線によって囲まれた三角形ができないようなａの値を求めよ。

問３
こんにちは。
次の問題をお願いします。

直線ｙ＝2ｘをｌ，ｙ＝１/２ｘをｍ，円（ｘ－ａ）②＋（ｙ－ｂ）②＝５
をＣとする。

（1）Ｃがｌと共有点を持つとき、２ａ－ｂの値の範囲を求めよ。
（2）Ｃがｌおよびｍと共有点を持つとき、ａ，ｂの関係を求め、円Ｃの
中心の存在する範囲を図示せよ。

問４
問題
ｘ＋２ｙ－６＞０，２ｘ－３ｙ＋９＞０，４ｘ＋ｙ－１７＜０
で表される領域をＤとする。

（1）Ｄを図示せよ。
（2）点（ｘ，ｙ）がＤに含まれるとき、ｘ②+ｙ②の最大値、最小値を
求めよ。

②というのは２乗の意味で、不等号にはすべて等号も含まれます。
（うまく表示できなかったんです、すみません）

（1）はできたんですが、（2）がわかりません。
よろしくおねがいします。

お返事２００１／８／１８
from=武田

問１
初項ａ、公比ｒとしたとき、初項から第１０項までの１０個の和が２だから、

　　　ａ（１－ｒ¹⁰）
Ｓ₁₀＝―――――――＝２
　　　　　１－ｒ

第１１項から第３０項までの２０個の和が１２だから、

Ｓ₃₀－Ｓ₁₀＝１２
∴Ｓ₃₀＝１２＋２＝１４

Ｓ₃₀＝ａ＋ａｒ＋ａｒ²＋…＋ａｒ⁹＋ａｒ¹⁰＋…＋ａｒ¹⁹＋ａｒ²⁰＋…＋ａｒ²⁹
　　＝Ｓ₁₀＋ｒ¹⁰（ａ＋ａｒ＋ａｒ²＋…＋ａｒ⁹）
　　　＋ｒ²⁰（ａ＋ａｒ＋ａｒ²＋…＋ａｒ⁹）
　　＝２＋ｒ¹⁰・２＋ｒ²⁰・２
ｒ¹⁰＝ｔとおくと、
２＋２ｔ＋２ｔ²＝１４
ｔ²＋ｔ－６＝０
（ｔ＋３）（ｔ－２）＝０
∴ｔ＝－３，２
公比ｒは実数なので、ｒ¹⁰＞０より、ｒ¹⁰＝２

したがって、
　　　ａ（１－２）
Ｓ₁₀＝――――――＝２
　　　　１－ｒ

－ａ＝２（１－ｒ）
∴ａ＝－２（１－ｒ）

第３１項から第６０項までの３０個の和は
Ｓ₆₀－Ｓ₃₀＝Ｓ₆₀－１４

　　　　　　ａ（１－２⁶）
　　　　　＝――――――－１４
　　　　　　　１－ｒ

　　　　　　－２（１－ｒ）（１－６４）
　　　　　＝―――――――――――――－１４　　　　　　　　　　１－ｒ


　　　　　＝－２・（－６３）－１４
　　　　　＝１２６－１４＝１１２………（答）

問２
（１）
４ｘ＋３ｙ＝１………①
ａｘ－　ｙ＝１………②
　ｘ＋ａｙ＝１………③
グラフを書くと、

３つの直線が１点で交わるためには、
①と②より、
　　　　　４
∴ｘ＝――――
　　　３ａ＋４

①と③より、
　　　　３－ａ
∴ｘ＝――――
　　　３－４ａ

したがって、
　　４　　　３－ａ
――――＝――――
３ａ＋４　３－４ａ

１２－１６ａ＝９ａ＋１２－３ａ²－４ａ

３ａ²－２１ａ＝０
ａ（ａ－７）＝０
∴ａ＝０，７………（答）

（２）三角形ができないのは、３つの直線が１点で交わるときと、
３本のうち２本が平行な直線になるときだから、（１）より、
ａ＝０，７

①と②が平行なとき、
　　　４
ａ＝－―
　　　３

①と③が平行なとき、
　　３
ａ＝―
　　４

②と③は
　　　１
ａ＝－―より、ａ²＋１＝０となり、ａは無い。
　　　ａ

したがって、
　　　　　　　４　３
ａ＝０，７，－―，―………（答）
　　　　　　　３　４

問３
（１）
ｙ＝２ｘ………①

　　１
ｙ＝―ｘ………②
　　２

（ｘ－ａ）²＋（ｙ－ｂ）²＝５………③
として、グラフを書くと、

①と③より、
（ｘ－ａ）²＋（２ｘ－ｂ）²＝５
５ｘ²－２（ａ＋２ｂ）ｘ＋（ａ²＋ｂ²－５）＝０
共有点があるから、判別式≧０より、
Ｄ／４＝（ａ＋２ｂ）²－５（ａ²＋ｂ²－５）≧０
４ａ²－４ａｂ＋ｂ²－２５≦０
（２ａ－ｂ）²－５²≦０
∴－５≦２ａ－ｂ≦５………（答）

（２）
②と③より、
　　　　　　　　１
（ｘ－ａ）²＋（―ｘ－ｂ）²＝５
　　　　　　　　２

５ｘ²－４（２ａ＋ｂ）ｘ＋４（ａ²＋ｂ²－５）＝０
共有点があるから、判別式≧０より、
Ｄ／４＝４（２ａ＋ｂ）²－２０（ａ²＋ｂ²－５）≧０
ａ²－４ａｂ＋４ｂ²－２５≦０
（ａ－２ｂ）²－５²≦０
－５≦ａ－２ｂ≦５

（ａ，ｂ）のグラフを書くと、
問４
（１）
　　　　　　　　　　　　　　１
ｘ＋２ｙ－６＞０より、ｙ＞－―ｘ＋３
　　　　　　　　　　　　　　２

　　　　　　　　　　　　　　２
２ｘ－３ｙ＋９＞０より、ｙ＜―ｘ＋３
　　　　　　　　　　　　　　３

４ｘ＋ｙ－１７＜０より、ｙ＜－４ｘ＋１７
これらを図示すると、


（２）
ｘ²＋ｙ²＝ｋ²とおくと、
原点を中心として、半径がｋとなるから、
三角形を覆うように最大の円と最小の円を書くと、

最大は点Ｂ（３，５）を通るから、代入して、
ｋ²＝３²＋５²＝９＋２５＝３４………（答）
　　　　　　　　　　　　１
最小は原点から直線ｙ＝－―ｘ＋３への距離が円の半径になるから、
　　　　　　　　　　　　２
変形して、ｘ＋２ｙ－６＝０
原点（０，０）からの距離ｈは、公式より
　　｜０＋２・０－６｜　　６
ｈ＝―――――――――＝――
　　√（１²＋２²）　　√５

　　　　　　３６
ｋ²＝ｈ²＝――………（答）
　　　　　　５