質問＜５７２＞２００１／７／１５
from=バナナ
「恒等式、割り算の問題」

（1）X+Y+Z＝５　３X+Y-Z=15　を満たす任意のX,Y,Zに対して
常にａX＾2＋ｂｙ＾2＋ｃZ＾2＝５＾2が成り立つとき、
定数ａ、ｂ、ｃの値を求めよ。

（2）整数Ｐ(ｘ)をＸ＾2＋Ｘ-2で割ると余りが－５Ｘ＋５で、
Ｘ＾2－Ｘ－6で割ると－X＋13余る
＜1＞Ｐ(ｘ)をＸ－１で割った余りを求めよ。

＜２＞Ｐ(ｘ)をX＾2－４Ｘ＋３で割った余りを求めよ。

＜３＞Ｐ(ｘ)をＸ＾３－２Ｘ＾２－５Ｘ＋６で割った商がＸのときＰ(ｘ)を求めよ。

お返事２００１／７／２５
from=武田

問１
｛ｘ＋ｙ＋ｚ＝５
｛３ｘ＋ｙ－ｚ＝１５
より、
｛ｙ＝１０－２ｘ
｛ｚ＝ｘ－５
ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｚ2 ＝５2 に代入して、
ａｘ2 ＋ｂ（１０－２ｘ）2 ＋ｃ（ｘ－５）2 ＝２５
（ａ＋４ｂ＋ｃ）ｘ2 －（４０ｂ＋１０ｃ）ｘ＋（１００ｂ＋２５ｃ－２５）＝０
すべてのｘに対して、この方程式が成り立つためには、
１００ｂ＋２５ｃ－２５＝０
４ｂ＋ｃ－１＝０
∴４ｂ＋ｃ＝１

※ここから先が進まない。何か変である。アドバイスをください。
すぐにｄ３さんからアドバイスをいただき、次のお便りをご覧ください。
感謝！

問２
Ｐ（ｘ）＝（ｘ2 ＋ｘ－２）Ｑ1 （ｘ）＋（－５ｘ＋５）
　　　　＝（ｘ－１）（ｘ＋２）Ｑ1 （ｘ）＋（－５ｘ＋５）
Ｐ（ｘ）＝（ｘ2 －ｘ－６）Ｑ2 （ｘ）＋（－ｘ＋１３）
　　　　＝（ｘ＋２）（ｘ－３）Ｑ2 （ｘ）＋（－ｘ＋１３）

①Ｐ（ｘ）÷（ｘ－１）の余りａは、ｘ＝１を上のＰ（ｘ）に代入すれば
　求まるから、
　Ｐ（１）＝０・３・Ｑ1 （１）＋（－５・１＋５）＝ａ
　∴ａ＝０………（答）

②Ｐ（ｘ）÷（ｘ2 －４ｘ＋３）の余りａｘ＋ｂは、
　ｘ2 －４ｘ＋３＝（ｘ－１）（ｘ－３）より、
　ｘ＝１を上のＰ（ｘ）に、ｘ＝３を下のＰ（ｘ）に代入して
　連立すれば求まるから、
　｛Ｐ（１）＝０＝ａ＋ｂ
　｛Ｐ（３）＝１０＝３ａ＋ｂ
　－２ａ＝－１０∴ａ＝５
　ｂ＝－ａ＝－５
　したがって、
　余りａｘ＋ｂ＝５ｘ－５………（答）

③Ｐ（ｘ）÷（ｘ3 －２ｘ2 －５ｘ＋６）の商はｘなので、
　余りをａｘ2 ＋ｂｘ＋ｃとすると、
　ｘ3 －２ｘ2 －５ｘ＋６＝（ｘ－１）（ｘ＋２）（ｘ－３）より、
　ｘ＝１，－２，３をＰ（ｘ）に代入して、連立すると、
　｛Ｐ（１）＝ａ＋ｂ＋ｃ＝０
　｛Ｐ（－２）＝４ａ－２ｂ＋ｃ＝１５
　｛Ｐ（３）＝９ａ＋３ｂ＋ｃ＝１０
　－３ａ＋３ｂ＝－１５
　ａ－ｂ＝５
　－８ａ－２ｂ＝－１０
　４ａ＋ｂ＝５
　５ａ＝１０
　∴ａ＝２
　∴ｂ＝－３
　∴ｃ＝１
　余りａｘ2 ＋ｂｘ＋ｃ＝２ｘ2 －３ｘ＋１より、
　Ｐ（ｘ）＝（ｘ3 －２ｘ2 －５ｘ＋６）・ｘ＋（２ｘ2 －３ｘ＋１）
　　　　　＝ｘ4 －２ｘ3 －３ｘ2 ＋３ｘ＋１………（答）

お便り２００１／７／２９
from=ｄ３

x+y+z＝5　3x+y－z=15　ax^2+by^2+cz^2=5^2は，
x＝5p,y＝5q,z＝5rとして，
p+q+r＝1　3p+q－r＝3　ap^2+bq^2+cr^2＝1 です．
q＝2－2p,r=p－1　です．
ap^2+bq^2+cr^2＝1 に代入して，
(a+4b+c)p^2－2(4b+c)p+(4b+c)＝1
pの恒等式となるのですが，
一次の係数＝0から，
定数項＝0となってありえません．
問題がおかしいのでは？