質問＜３８７＞２００１／１／５
from=あつ
「三角関数」

明けましておめでとうございます！
さっそくですが、質問が２つあります。
どれも途中までしか解けず、最後までしっかり解答できません。
これはセンター対策らしいのですが・・・
ではお願いします。

問１
半円X2乗＋Y２乗＝４（Y≧０）の円周上にA（２，０）と動転Pを取り、
原点Ｏから弦ＡＰに下ろした垂線とＡＰとの交点をＱとする。
直線ＯＰとＸ軸の正の向きとなす角をΘとする。（０°≦Θ≦１８０°）
Ｌ＝ＡＰ＋ＯＱをΘを用いて表すと、L＝？Cos Θ/２＋？Sin Θ/２となる。
（この後、更に合成関数にするような指示があるのですが？？？）

問２
aを正の定数とし、Ｙ＝aSinΘ＋CosΘ（０°≦Θ≦１８０°）とすると、
YはSinΘ＝？のとき最大値？をとる。
最小値は0＜a≦？ならば？であり、？＜aならば？である。

お返事２００１／１／５～８
from=武田

問１

△ＯＡＱにおいて、ＯＱ＝２cos（θ／２）
ＡＰ＝２ＡＱ＝４sin（θ／２）より、
Ｌ＝ＡＰ＋ＯＱ
　＝４sin（θ／２）＋２cos（θ／２）……（答）

問２
全面的にやり直しました。
Ｙ＝aSinΘ＋CosΘ（０°≦Θ≦１８０°）より、
sinθ＝Ｘとおくと、０≦Ｘ≦１
Ｙ＝ａＸ＋√（１－Ｘ2 ）
変形して、
Ｙ－ａＸ＝√（１－Ｘ2 ）
両辺を２乗して、
Ｙ2 －２ａＸＹ＋ａ2 Ｘ2 ＝１－Ｘ2 
（ａ2 ＋１）Ｘ2 －２ａＸＹ＋Ｙ2 ＝１
この式は、下図のような楕円を回転した図形の方程式である。

極値は微分して、Ｙ′＝０となるところを探せばよい。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
ｆ（ｘ、ｙ）＝０をｘで微分すると、
ｆx ＋ｆy ・ｙ′＝０から、ｙ′＝０は、ｆx ＝０
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
ｆ（Ｘ，Ｙ）＝（ａ2 ＋１）Ｘ2 －２ａＸＹ＋Ｙ2 －１＝０とおき、ｆX を求めると、
ｆX ＝２（ａ2 ＋１）Ｘ－２ａＹ＝０
　　　ａＹ
Ｘ＝────を、ｆ（Ｘ，Ｙ）＝０に代入して、
　　ａ2 ＋１

ａ2 Ｙ2 　　　　　ａＹ
────－２ａ・────・Ｙ＋Ｙ2 －１＝０
ａ2 ＋１　　　　ａ2 ＋１

　　１
────Ｙ2 ＝１
ａ2 ＋１

Ｙ2 ＝ａ2 ＋１

∴Ｙ＝±√（ａ2 ＋１）

　　　　ａＹ　　　　　　ａ
∴Ｘ＝────＝±────────
　　　ａ2 ＋１　　√（ａ2 ＋１）

０°≦θ≦１８０°、ａ＞０より、
Ｘ＝sinθ＝ａ／｛√（ａ2 ＋１）｝のとき、
極大値つまり最大値Ｙ＝√（ａ2 ＋１）……（答）
ａ＞０がどんな値をとっても、
最小値はＸ＝０（θ＝１８０°）のとき、最小値Ｙ＝－１
※しかし、問題とは少し違う。たぶん上図のように黄色部分の
０°≦θ≦９０°の範囲であれば、
０＜ａ≦１のとき、最小値Ｙ＝ａ｝
ａ＞１のとき、最小値Ｙ＝１　　｝……（答）