質問＜３８８＞２００１／１／６
from=ももっち
「Σの計算」

Σの意味さえ知っていれば解ける様なのですが・・・。
　　ｎ
Ⅰ．Σ２のk+1乗／３のｋ乗 の値を求めよ。
　　k=1                   

　　ｎ
Ⅱ．Σｋの２乗／４ｋの２乗－１ の値を求めよ。
　  k=1

　　ｎ
Ⅲ．Σｋ３のｋ乗 を求めよ。
　　k=1
　
という３問なのですが、何となくⅢはやり方が分かりそうな気もするの
ですがいまいち確信が持てないので質問させていただきます。
残りはさっぱりなのでよろしくお願いします。

お返事２００１／１／７
from=武田

問１
n　　２k+1　　n　　４　２　　　（４／３）｛１－（２／３）n ｝
Σ　───＝　Σ　─（─）k-1＝───────────────
k=1　３k 　　k=1　３　３　　　　　　　１－（２／３）

　　　　　　　　　　　２
　　　　　＝４｛１－（─）n ｝　……（答）
　　　　　　　　　　　３

問２
n　　　　ｋ2 　　　n　　　　ｋ　　　　ｋ　　　１
Σ　──────＝　Σ（────＋────）・─
k=1　４ｋ2 －１　　k=1　２ｋ－１　２ｋ＋１　　４

　　１　　１　１　　　２　２　　　３　３　　　　　　　n　　n
　＝─｛（─＋─）＋（─＋─）＋（─＋─）＋……＋（──＋──）｝
　　４　　１　３　　　３　５　　　５　７　　　　　　2n-1　2n+1

　　１　　　　　　　　　　　　　ｎ　　　　１　　　　　ｎ
　＝─（１＋１＋１＋……＋１＋────）＝─（ｎ＋────）
　　４　　　　　　　　　　　　２ｎ＋１　　４　　　２ｎ＋１

　　２ｎ2 ＋２ｎ　　ｎ（ｎ＋１）
　＝───────＝───────　……（答）
　　４（２ｎ＋１）　２（２ｎ＋１）

問３
n
Σ　ｋ・３k ＝１・３＋２・３2 ＋３・３3 ＋……＋ｎ・３n 
k=1

　＝３＋（３2 ＋３2 ）＋（３3 ＋３3 ＋３3 ）＋……＋（３n ＋３n ＋……＋３n ）

　＝（３＋３2 ＋３3 ＋……＋３n ）＋（３2 ＋３3 ＋……＋３n ）＋（３3 ＋……＋３n ）＋……＋３n 

　　３（３n －１）　３2 （３n-1－１）　３3 （３n-2－１）　　　　　３n （３－１）
　＝───────＋────────＋────────＋……＋────────
　　　　３－１　　　　　３－１　　　　　　３－１　　　　　　　　　３－１

　　１
　＝─（３n+1－３＋３n+1－３2 ＋３n+1－３3 ＋……＋３n+1－３n ）
　　２

　　１
　＝─｛ｎ・３n+1－（３＋３2 ＋３3 ＋……＋３n ）｝
　　２

　　１　　　　　　　　３（３n －１）
　＝─｛ｎ・３n+1 －────────｝
　　２　　　　　　　　　３－１

　　２ｎ・３n+1 －３n+1 ＋３
　＝────────────
　　　　　　　４

　　（２ｎ－１）３n+1＋３
　＝───────────　……（答）
　　　　　　　４