質問＜３８６＞２００１／１／４
from=８仁志
「分数式」

　yahoo!の検索で来させていただきました。
　冬休みの宿題でひっかかっちゃって・・・(T-T)　
　突然ですいませんが、ご指導お願いします。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　a＋１     b＋１     c＋１     
　────＝────＝────
　b＋c＋２  c＋a＋２  a＋b＋２

このとき、この式の値を求めよ。　　＜00 東北学院大＞

　　　答え　a＋b＋c＝－３のとき－１
　　　　　　a＋b＋c≠－３のとき１／２
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　a＋１    b＋１  
　────＝─────
　b＋c＋２   c＋a＋２　　より

　ac+aa+３a＝bc+bb+３b　　　　aaは二乗です。
　(a－b)(a＋b＋c＋３)＝０　　表し方がよく解らな
　同様に　　　　　　　　　　　　かったので・・・・
　(b－a)(a＋b＋c＋３)＝０　　
　(a－c)(a＋b＋c＋３)＝０　　
　(c－a)(a＋b＋c＋３)＝０
　　　　　・
　　　　　・
　　　　　・
　よって
　　a＋b＋c＝－３のときと、a＋b＋c≠－３のときに
　　場合分けができる（解答では）というのですが
　　分母が０になってはいけないのですから
　　b＋c＋２≠０
　　c＋a＋２≠０　　
　　a＋b＋２≠０
　　となり、よって
　　a＋b＋c≠－３
　　ということができ
　　a＋b＋c≠－３の場合しかありえないように
　　思えるんです。
　　この考え方はどこが間違っているのでしょうか。
　　よろしくお願いします。

お返事２００１／１／５
from=武田

左辺と中辺より、
（ａ＋１）（ｃ＋ａ＋２）＝（ｂ＋１）（ｂ＋ｃ＋２）
ａｃ＋ａ2 ＋２ａ＋ｃ＋ａ＋２＝ｂ2 ＋ｂｃ＋２ｂ＋ｂ＋ｃ＋２
ａｃ－ｂｃ＋ａ2 －ｂ2 ＋３ａ－３ｂ＝０
（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ＋ｃ＋３）＝０……①
中辺と右辺より、
（ｂ＋１）（ｂ＋ａ＋２）＝（ｃ＋１）（ｃ＋ａ＋２）
同様にして、
（ｂ－ｃ）（ａ＋ｂ＋ｃ＋３）＝０……②
左辺と右辺より、
（ａ＋１）（ａ＋ｂ＋２）＝（ｃ＋１）（ｂ＋ｃ＋２）
同様にして、
（ｃ－ａ）（ａ＋ｂ＋ｃ＋３）＝０……③
①②③が同時に成り立つのは、
ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０または、
（ａ－ｂ）＝０かつ（ｂ－ｃ）＝０かつ（ｃ－ａ）＝０

（ｉ）ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０の場合
　　　ｂ＋ｃ＝－ａ－３より、
　　　　　　　ａ＋１　　　　ａ＋１　　　ａ＋１
　　　左辺＝─────＝──────＝────＝－１
　　　　　　ｂ＋ｃ＋２　－ａ－３＋２　－ａ－１
　　　ただし、分母を０としないので、ａ≠－１
　　　同様に中辺と右辺から、ｂ≠－１，ｃ≠－１
　　　したがって、
　　　ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０かつ（すべてａ，ｂ，ｃが－１でない）
　　　とき、式の値（－１）

（ⅱ）ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０かつ（ａ＝－１またはｂ＝－１またはｃ＝－１）
　　　のとき、式の値（不定）

（ⅲ）ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０かつ（ａ－ｂ）＝０かつ（ｂ－ｃ）＝０かつ
　　　（ｃ－ａ）＝０
　　　このとき必ずａ＝ｂ＝ｃ＝－１
　　　つまり、
　　　ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０かつ（ａ＝ｂ＝ｃ＝－１）
　　　のとき、式の値（不定）

（ⅱ）（ⅲ）より、ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０かつ（ａ，ｂ，ｃのうち、少なく
　　　とも１つは－１）のとき、式の値（不定）

（ⅳ）ａ＋ｂ＋ｃ＋３≠０かつ（ａ－ｂ）＝０かつ（ｂ－ｃ）＝０かつ
　　　（ｃ－ａ）＝０
　　　ａ＋ｂ＋ｃ＋３≠０かつａ＝ｂ＝ｃより、
　　　このとき必ずａ＝ｂ＝ｃ≠－１
　　　　　　　ａ＋１　　　ａ＋１　１
　　　左辺＝─────＝────＝─
　　　　　　ｂ＋ｃ＋２　２ａ＋２　２
　　　ａ＋ｂ＋ｃ＋３≠０かつ（ａ＝ｂ＝ｃ≠－１）のとき、
　　　式の値（１／２）

したがって、
条件としてａ≠－１かつｂ≠－１かつｃ≠－１ならば、
　　｛ａ＋ｂ＋ｃ＋３＝０のとき、式の値（－１）
　　｛ａ＋ｂ＋ｃ＋３≠０のとき、式の値（１／２）……（答）

※なお、質問の
　「b＋c＋２≠０、c＋a＋２≠０、a＋b＋２≠０となり、よって
　　a＋b＋c≠－３ということができ」
は、いえない。
例えば、ａ＝－２，ｂ＝－２，ｃ＝１とすると、
ａ＋ｂ＋ｃ＝－３となる。