質問＜３８４７＞２０１３／２／７
from=peace
「整数」

0または正の整数x,yを用いてn=5x+11yと表される整数n全体の集合をAとする
mは整数であってn≧mを満たす整数nは全てAの要素であるという。
このような整数mのうち最小の数は何ですか？ 
お願いします

★希望★完全解答★

お便り２０１３／２／２４
from=平　昭

　こんにちは。こういう問題の常套手段は「割り算した余りで分類する」です。
思いつけば簡単なのですが、きちんと書くのがちょっと面倒でした。

　負でない整数ｐを、５で割った余りで場合分けし、Ａの要素かどうかを考える。
　ｑを負でない整数として
（イ）ｐ＝５ｑの時
　ｐがＡの要素であり、
ｐ＝5x+11y＝５（x+2y）+y、、、★
と書けるとする。
　★より、pを５で割った余りは、ｙを５で割った余りに等しい。
　そして★の式でｙ＝０、x＝ｑと置けば、
実際に5x+11y＝5q＝ｐであり、
ｐはＡの要素であることが確認できる。
　つまり、５の倍数は全てＡの要素である。

（ロ）ｐ＝５ｑ＋１の時
　この時、rを負でない整数として、ｙ＝５r＋１≧１が必要。
つまり、ｐ≧ｘ＋１１
　そして、ｐ≧１１、つまりｑ≧２ならば、
★の式でy=１、ｘ＝ｑ－2と置くと、
ｐはＡの要素であると確認できる。
　つまり、５で割って１余る整数は、１１以上ならば全てＡの要素である。

（ハ）ｐ＝５ｑ＋２の時
　この時、rを負でない整数として、ｙ＝５r＋２≧２が必要。
つまり、ｐ≧ｘ＋２２　
　そして、ｐ≧２２、つまりｑ≧４ならば、
★の式でy=２、ｘ＝ｑ－４と置くと、
ｐはＡの要素であると確認できる。
　つまり、５で割って２余る整数は、２２以上ならば全てＡの要素である。
（ニ）ｐ＝５ｑ＋３の時
　この時、rを負でない整数として、ｙ＝５r＋３≧３が必要。
つまり、ｐ≧ｘ＋３３　
　そして、ｐ≧３３、つまりｑ≧６ならば、
★の式でy=３、ｘ＝ｑ－６と置くと、
ｐはＡの要素であることが確認できる。
　つまり、５で割って３余る整数は、３３以上ならば全てＡの要素である。
（ホ）ｐ＝５ｑ＋４の時
　この時、rを負でない整数として、ｙ＝５r＋４≧４が必要。
つまり、ｐ≧ｘ＋４４。
　そして、ｐ≧４４、つまりｑ≧８ならば、
★の式でy=４、ｘ＝ｑ－８と置くと、
ｐはＡの要素であることが確認できる。
　つまり、５で割って４余る整数は、４４以上ならば全てＡの要素であり、
また特に、４４未満ならばＡの要素ではない。

　最後に、（イ）～（ホ）の議論を合わせて考えると、
結局、４０以上の整数は全てＡの要素である。
　そして３９＝５×７＋４は、Ａの要素ではない。
　よって求める数は４０である。