質問

座標平面上の集合Mを
  M=｛(x,y)|x,yは整数で、3x+yは8の倍数である｝と定める
平行四辺形ABCDの頂点A,B,C,DはすべてMに属する。この平行四辺形をQとし、その面積をSとする
(1)Sは8の倍数であることを示せ
(2)S=8のとき、Qの内部及び周上の点で、Mに属するのは4頂点A,B,C,Dに限ることを示せ
お願いします

★希望★完全解答★

お便り２０１３／２／２４
from=平　昭

　こんばんは。（１）は座標計算に持ち込めば比較的やさしい問題かと思います。
（２）は、背理法で証明すればよい、と思いつくまでしばらくかかりました。
証明の文章はちょっとくどいかもしれません。

（１）
Ｍの要素(x,y)は、m,kをそれぞれ整数として
　(x,y)＝（ｍ、-3m＋8k）と書ける。
　原点（0、0）もＭの要素であり、頂点Ａは原点と仮定して一般性を失わない。
　ここで、nとjも整数として、
頂点Ｂを（ｍ、-3m＋8k）、Ｄを（n、-3n＋8j）と置くと、

Ｓ＝|m(-3n＋8j)－ｎ（-3m＋8k）|
 ＝８｜mj-nk｜となる。

（ベクトルの外積を知っていれば、|ベクトルＡＢ×ベクトルＡＤ|  が面積に
なるので簡単に証明できます。知らなくても図を描いて地道に計算すれば導けます。）
　m,j,n,k は全て整数なので、｜mj-nk｜も整数。よってＳは８の倍数である。

（２）
Ｑの内部及び周上の点で、A,B,C,Dのいずれとも異なり、かつ、Mに属する点が存在した
と仮定し、その点をＰとする。
　まず、Ｐが△ＡＢＤの内部または辺ＡＤ上に存在したとして、矛盾が生じることを示す。
　ＡＰとＡＢを２辺とする平行四辺形Ｔを考え、Ｔの面積をｔとする。
　この時
　０＜ｔ＜Ｓ＝８、、、、（i）　が成り立つ。

（図を描いてみれば分かるが、ＡＢをＱ、Ｔに共通した底辺とみると、
Ｔの高さは明らかにＱの高さ未満である。）
　一方、ｐ、ｂ、ｋ，jを整数として、Ｐ（p,-3p+8ｋ）　Ｂ（ｂ，-３ｂ＋８ｊ）と置くと、
Ａ、Ｐ、Ｂ以外のＴの頂点Ｘは、Ｘ（p＋ｂ,　-3（p+b）＋８（k＋j））と書ける。
これよりＸは明らかにＭの要素である。
　だから（１）より
　tは８の倍数である。。、、、(zA)

　８より小さく０より大きい８の倍数はないから、（i）と(zA)は矛盾している。
よってＰは△ＡＢＤの内部または辺ＡＢ上には存在し得ない。
　また、Ｐが辺ＡＢ上に存在したとしても、ＡＰとＡＤを２辺とする平行四辺形を考えれば
同様の議論が成り立つ。よってＰはＡＢ上にも存在し得ない。
　つまり、Ｐは△ＡＢＤの内部または周上には存在し得ない。

　さらに、Ｐが△ＣＢＤの内部または周上に存在した場合を考えると、ＣＢとＣＰ、または
ＣＤとＣＰを２辺とする平行四辺形について同様の議論が成立し、やはり矛盾が生じる。
このためＰは、△ＣＢＤの内部または周上にも存在し得ない。

　最後に、Qの内部及び周上の点は、△ＡＢＤの内部または周上にあるか、△ＣＢＤの内部
または周上にあるかのどちらかである。

　これで、Qの内部及び周上に、A,B,C,D以外にMに属する点は存在しないことが証明できた。