質問＜３８２６＞２０１１／１０／２７
from=ABC
「絶対値を含む不等式の証明」

|a-b|≦|a|+|b|
の証明で
〈等号が成立するとき〉が
よくわかりません。

★希望★完全解答★

お便り２０１１／１０／３１
from=wakky

|a-b|≦|a|+|b|の証明
証明すべき不等式の両辺は
ともに負ではないので
|a-b|^2≦(|a|+|b|)^2
であることを示せばよい
|a-b|^2-(|a|+|b|)^2
=(a-b)^2-(|a|+|b|)^2
=a^2-2ab+b^2-(|a|^2+2|a||b|+|b|^2)
=a^2-2ab+b^2-(a^2+2|a||b|+b^2)
=-2(|a||b|+ab)
=-2(|ab|+ab)
ab＞0のとき
|ab|=abで
-2(|ab|+ab)≦0
ab≦0のとき
|ab|=-abで
-2(|ab|+ab)＝0
よって
-2(|ab|+ab)≦0
がなりたつ
よって
|a-b|^2≦(|a|+|b|)^2
が成り立つから
|a-b|≦|a|+|b|
が成り立つ
等号が成立するのは
計算過程から
|ab|+ab＝0のときだから
|ab|=-ab
すなわち
ab=0またはab＜0のとき
つまり
ab≦0のときである