質問

地面上の点Ｏの真上に長さbの棒ABが地面に垂直になるようにつるしてあり、
その下端Aは地面から高さaのところにある。
だだしa>0。この棒を地面上を動く点Pから観測する。
このとき∠BPAが最大になる点Pに対しOPの長さを求めよ。なお、地面は平面とみなす。
※なるべく早くお願いいたします。
これを教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００９／５／１３
from=BossF

問題文のPの位置が抜けてませんか？
Pが地上にあると仮定して解きます

[解]
3点A,B,Pを通る円Q（中心Q)を考えると∠BPAは円周角であり、ABが一定であるから、
Qの半径が小さいほど∠BPAは大きくなる

ここで、円Qの半径はこれが地面と接するとき明らかに最小
（このとき、□OMPQは長方形になってます、ただしM;ABの中点で、
QP=OM=a+ｂ/2＝R　MQ=OP＝ｘ　

ここで△MQCは直角三角形だから

　R^2=x^2+MB^2 
∴x^2=(a+ｂ/2)^2-(b/2)^2=a^2+ab　i.e. x=√｛a(a+b)｝)

よって(描いてないけど（＾＾；；）図より

∴OP=√｛a(a+b)｝

お返事２００９／５／１３
from=武田

三角関数と導関数を使って、「映画館の座席問題」のような感じで解いてみました。

∠ＢＰＡ＝θ、∠ＡＰＯ＝φとして、
ｔａｎφ＝ａ／ｘ………①
ｔａｎ（θ＋φ）＝（ｂ＋ａ）／ｘ………②

②の左辺を加法定理で展開して、①を代入し、変形していくと、
ｔａｎθ＝ｂｘ／｛ｘ^2＋ａ（ａ＋ｂ）｝
となりました。両辺をｘで微分すると、

ｄθ　（ｃｏｓθ）^2・｛ａｂ（ａ＋ｂ）－ｂｘ^2｝
――＝―――――――――――――――――――――
ｄｘ　　　　｛ｘ^2＋ａ（ａ＋ｂ）｝^2
　

　　　　　ａｂ（ａ＋ｂ）－ｂｘ^2
＝――――――――――――――――――――
　｛ｘ^2＋ａ（ａ＋ｂ）｝^2］＋（ｂｘ）^2

分母はすべてのｘに対してプラスなので、ｄθ／ｄｘ＝０となるのは、
分子＝ａｂ（ａ＋ｂ）－ｂｘ^2＝０より、
ｘ＞０とすると、
∴ｘ＝√｛ａ（ａ＋ｂ）｝のとき、最大角θ＝ｔａｎ^-1｛ｂｘ／（ｘ^2＋ａ（ａ＋ｂ））｝

例）ａ＝１、ｂ＝２とすると、ｘ＝√３で、θ＝３０°となる。