質問

ｎ次方程式の整数解について
a１、a２、・・anが整数のとき、ｘ＾ｎ＋a１ｘ＾（n－１）＋・・・＋a（n-1）ｘ+an＝０
が有理数の解を持つ時、その解が整数である事を証明せよ。
（背理法を用いると思うんですが・・）

★希望★完全解答★

お便り２００８／４／２８
from=平　昭

　こんにちは。「√2が無理数であることの証明」というのは習いましたか？
　この証明を知っていると、質問された問題＜３７１１＞も解答の方針が立つと思います。
以下に示す解答を見る前に、もう一度自力で考えてみませんか。

　では解答です。

　題意の方程式が整数でない有理数の解を持つと仮定し、その解αをα＝ｑ／ｐ　と置く。
ここで、ｐ、ｑは整数で互いに素であり、かつｐは２以上の自然数とする。
すべての有理数は既約分数で表せるから、これで一般性を失わない。

　さて、与えられた方程式にαを代入して通分すれば
（1/p^n)｛q^n＋ａ_1・ｐq^（n-1）＋………＋ａ_(n-1)・qp^(n-1)+ａ_n・p^n｝＝０
となる。ここで、｛　｝内の第２項以降をｐでくくって書き直せば、
Ａ＝ａ_1・q^（n-1）＋………＋ａ_(n-1)・qp^(n-2)+ａ_n・p^(n-1)として
　q^n+pＡ＝０………★　と書ける。
　ここでp、q、ａ_1、………、ａ_nはすべて整数であるからＡも整数である。
だから★は、q^nがｐの倍数であることを意味する。
これはｐ、qが既約でかつｐが２以上の自然数とした仮定に矛盾する。

　よって、整数でない有理数解は存在しない。
つまり、もし有理数解が存在するならば、それは整数である。
（証明終わり）