質問

ｘｙｚ空間内の球面Sは2点A(0,0,1),B(0,1,2)を通り、
ｘｙ平面と接しながら動く。このとき、
(1)     Sの半径rのとり得る値の範囲を求めよ。
(2)     Sとxy平面との接点Cの軌跡F、および三角形ABCの面積の最大値を求めよ。
（横浜国立大.改）
完全解答宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００８／５／５
from=平　昭

　こんばんは。条件を素直に式にして行けば
自然と解ける問題です。定式化に慣れるのが大事ですね。
では、解答です。

　球の中心を点Ｐ（a,b,c）と置く。
ＡＰ＝ＢＰ＝ｒより

a^2+b^2＋(c-1)^2＝a^2+(b-1)^2＋(c-2)^2＝r^2、、、（1）

また球が点Ｃでxy平面に接することより、
ＰＣがxy平面に垂直なことを考えれば
接点ＣはＣ(a,b,0)と書けて、かつ

c^2=r^2、、、（2）


さて、(1)の左側の等式よりb+c＝2
これと（2）より

a^2+(c-1)^2＋(c-2)^2＝c^2
整理して
a^2+(c-1)(c-5)＝0、、、（3）

ここでa^2≧０を考えれば、
(c-1)(c-5)≦０、つまり1≦c≦5が必要。

そして、この範囲のｃに対し
(3)を満たすａが常に存在することは明らか。

だから、求めるrの範囲は  1≦r≦5  である。


次に、点Ｃ(a,b,0)の軌跡を知るため、
aとbの関係式を求める。

(1)と(2)よりｃを消去して整理すると
a^2+＋(b+1)^2＝4が得られる。
また（1）と、前問の答えより-3≦b≦1である

よって接点Ｃ(a,b,0）はxy平面上に、
中心（0,-1,0）半径２の円を描く。
これが求める軌跡Ｆである。

さて、△ＡＢＣの面積sを考えるため、
点Ｃと直線ＡＢの距離をｄと置く。
２s＝|ＡＢ|ｄ＝(√２)dである。
一方、ＡＢ上の点Ｑは、tを実数として
Ｑ（0,t,t+1）とパラメータ表示できる。
よって
|ＣＱ|^2＝a^2+(t-b)^2+(t+1)^2
        ＝a^2+2｛t^2+(1-b)t+b^2+1｝
        ＝a^2+2｛t+(1-b)/2｝^2+(1+b)^2/2
 となり、これはt=(b-1)/2で、最小値a^2+(1+b)^2/2をとる。
この最小値がすなわち、d^2である。
これとa^2+＋(b+1)^2＝4を考え合わせれば

     d^2＝(a^2/2)＋２　となる。

これは明らかに、a＝0で最小値２を取る。
この時sも最小となり、求める最小値はs＝１となる。

お便り２００８／５／５
from=UnderBird

お便り２００８／５／７
from=phaos

訂正します。

S の中心は (a, b, r) と書けるので, S の方程式は
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - r)^2 = r^2.
A, B を通るので
a^2 + b^2 + (1 - r)^2 = r^2 … (a)
a^2 + (1 - b)^2 + (2 - r)^2 = r^2 … (b)
(1)
先ず (a) より r = (a^2 + b^2 + 1)/2 ≧ 1/2.
(b) より r = (a^2 + (1 - b)^2 + 4)/4 ≧ 1.
従って r ≧ 1.

(2) (a), (b) から
a^2 + b^2 + 1 = 2r.
a^2 + (1 - b)^2 + 4r.
これらから r を消去して
a^2 + (b + 1)^2 = 4.
これが F の方程式。 つまり xy 平面上の (0, -1, 0) を中心とする, 半径 2 の円。
C(2cos θ, 2sin θ -  1, 0) と置く。
AC = (2cos θ, 2sin θ -  1, -1),
BC = (2cos θ, 2sin θ -  2, -2)
で
|AC|^2|BC|^2 - (AC・BC)^2
= 4(2 - sin^2 θ)
で, これの最大値は sin θ = 0 の時である。
従って, 面積の最大値は
(√(|AC|^2|BC|^2 - (AC・BC)^2))/2 = √2.

（※管理人談：phaosさんお久しぶりです。このページをコツコツと続けています。
　　　　　　　来年の３月で無事定年退職です。このサイトをいつまで続けて良い
　　　　　　　のか分かりませんが、もう少しは続くでしょう。今後ともアドバイス
　　　　　　　をお願いします。）