質問

お忙しいところまた質問です。すみません。

ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）は区間－１≦ｘ≦１で微分可能であるとする。

また、ｆ（０）=０をみたし、

つねに｜ｇ（ｘ）｜≦ｆ（ｘ）をみたすとする。


①ｆ（１）=１、ｆ’（ｘ）は定関数でないとするとき
ｆ（a）＜aまたはｆ（a）＞aとなるa（０＜a＜１）が

存在することを示せ。
また、
ｆ’（b）＜１またはｆ’（c）＞１となるb,c（０＜b＜１、０＜c＜１）

が存在することを示せ。


②ｇ’（０）=０を示せ。

お返事２０００／１１／２８
from=武田



未解決問題になっていたところ、マスマニアさんから有り難いアドバイ
スをいただきました。

お便り２００１／３／２０
from=マスマニア

問１

　h（x）＝x-f(x)と　置くと　f（x）は －１≦ｘ≦１で微分可能であ
るので　この区間において連続であるといえるので　h（x）もまたこの
区間において連続である
今
　h（0）＝0かつ　h（1）＝0である　

　任意のxにおいてh（x）＝0と仮定すると　f（x）＝xであるので
f｀（x）は定関数となり　矛盾する　。よって　f（x）＝x　ではない　
つまりh（x）は直線y＝0ではない

　h（0）＝0かつ　h（1）＝0であり　h（x）は　連続であり　
h（x）は直線y＝0ではないとすれば
h（a)＞0　または　h（a）＜0　となる　a（0＜a＜1）は必ず存在する
（h（x）の図を書いてください　かけばわかります）
つまりh（a）＝a-f(a)＞0　または　h（a）＝a-f(a)＜0
となるaが存在する　さらに書き直すと

ｆ（a）＜aまたはｆ（a）＞aとなるa（０＜a＜１）が

存在する。

　ｆ’（b）＜１またはｆ’（c）＞１となるb,c（０＜b＜１、０＜c＜１）

が存在することを示す。

　さっき証明したのでｆ（a）＜aまたはｆ（a）＞aとなるa（０＜a＜１）が

存在する。これをうまく利用する

ｆ（a）＜aの時

　平均値の定理より

　f(a)-f(0)/a-0=f｀（b）　となる（０＜b＜１）f｀（b）が存在する。
ｆ（a）＜aより

f(a)-f(0)/a-0＝f（a)/a＜1　である　よってf｀（b）＜1　（０＜b＜１）
であるbが存在する。
　　　　　
　同様に ｆ（a）＞aのとき

さっきの　bをcに書き直し　ｆ（a）＞aを考えれば
ｆ’（c）＞１となるc（０＜c＜１）が存在する

お便り２００１／３／２２
from=マスマニア

問２

涼子さんの問題　の問２の答えができましたので送ります

ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）は区間－１≦ｘ≦１で微分可能であるとする。

また、ｆ（０）=０をみたし、

つねに｜ｇ（ｘ）｜≦ｆ（ｘ）をみたすとするとき


②g’（０）=０を示せ。について

　題意より｜g（ｘ）｜≦ｆ（ｘ）⇔　　　-f（x）≦g（x）≦f（x）
　であり、かつ　　　f（x）≧0　である

-f（x）≦g（x）≦f（x）を用いて　g｀（x）を作る

微分の定義式を意識して　

-｛f（x+h）+f（x）｝/h ≦｛g（x+h）-g（x）｝/h≦｛f（x+h）+f（x）｝/h

左辺と右辺をさらに微分の定義式を意識したものとしてつくる
f（x+h）+f（x）＝f（x+h）-f（x）+2f（x）より

-｛f（x+h）-f（x）+2f（x）｝/h ≦｛g（x+h）-g（x）｝/h
≦｛f（x+h）-f（x）+2f（x）｝/h　

この左辺　中辺（？）右辺の全てにlim　　を考えると
                               (h→0）

　　　-f｀（x）≦g｀（x）≦f｀（x）　　が成立する

　　　また　-f（x）≦g（x）≦f（x）かつf（0）＝0より

　　　-f（0）≦g（0）≦f（0）⇔　0≦g（0）≦0　　よりg（0）＝0

任意のxにおいて　　　-f｀（x）≦g｀（x）≦f｀（x）であるので
f｀（x）≧0であり、かつ f（0）=g（0）＝0　　
であり-f（x）≦g（x）≦f（x）であり　g（x）　f（x）共に連続

　なので

f（-1)=g(-1)= f（0）=g（0）＝0 であり －１≦ｘ≦0の区間における
任意のxにおいて　
-f｀（x）＝g｀（x）＝f｀（x）＝0　が成立する（図をかいてください
　かかないとおそらくわかりません）

つまり　g｀（0）＝0は成立する
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
補足説明

-f｀（x）≦g｀（x）≦f｀（x）であるのでf｀（x）≧0であり
かつ f（0）=g（0）＝0　　であり-f（x）≦g（x）≦f（x）であり
g（x）　f（x）共に連続

　なので　　f（-1)=g(-1)= f（0）=g（0）＝0 であり 　この時点で

　片側微分係数　　　lim　f｀（x）＝g｀（x）＝0であるとわかる。
（片側微分係数とは　h→-0
ある点への片側からちかずいたときの傾きである）
　　今はじめの題意より

ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）は区間－１≦ｘ≦１で微分可能であるとすると書
いてある。
微分可能とはつまり　ある点の左右両方からの片側微分係数が存在し
かつ一致する事と同値であるといえる

　つまり
lim　f｀（x）＝g｀（x）＝0　でかつ lim　f｀（x）＝g｀（x）＝0
h→-0　　　　　　　　　　　　　　　h→+0

が成立するということである。これはまさに

lim　f｀（x）＝g｀（x）＝0　⇔f｀（0）＝g｀（0）＝0を示している
h→0　　　　　　
にほかならない