質問＜３６４＞２０００／１１／２０
from=涼子
「実数の問題」

［１］aは実数とする。連立方程式
　　　ax＋(a-1)y=1........①
　　　(a＋1)x＋ay=3.......②
　　　を解け。

［２］実数x,yが
　　　-1≦x+y≦1、-1≦x-y≦5
　　　を満たすとき、z=3x+yのとりうる値の範囲を求めよ。

［３］a＜0,b＜0,c＜0,a+b+c=1のとき、
　　　a3+b3+c3の最小値を求めよ。
　　　（a3はaの三乗のこと）

［４］任意の実数aに対して、２つの曲線
　　　y=ax2-2x+2a+n+1
      y=x2-4ax-a+2n-1
      が常に共有点を持つときの整数nの個数を求めよ。
　　　（ax2はaxの二乗のこと）
［５］実数x,yがx2+y2≦8を満たすとき、
　　　X=x+y,Y=x2+y2-8
　　　とするとき、点（X,Y）の存在する領域の面積を
　　　求めよ。
　　　（x2はxの二乗のこと）

お返事２０００／１１／２６～２９
from=武田

問１
　　　ax＋(a-1)y=1........①
　　　(a＋1)x＋ay=3.......②
①×ａ－②×（ａ－１）より
｛ａ2 －（ａ2 －１）｝ｘ＝ａ－３（ａ－１）
∴ｘ＝－２ａ＋３……③
③を①に代入して、
ａ（－２ａ＋３）＋（ａ－１）ｙ＝１
（ａ－１）ｙ＝２ａ2 －３ａ＋１
　　　　　　＝（ａ－１）（２ａ－１）
ａ≠１のとき、ｙ＝２ａ－１
したがって、
ａ≠１のとき、
｛ｘ＝－２ａ＋３
｛ｙ＝２ａ－１　　……（答）

問２

ｚ＝３ｘ＋ｙにおいて、
Ａ（－１，０）を通るとき、最小値をとるから
ｚ＝－３
Ｂ（３，－２）を通るとき、最大値をとるから
ｚ＝９－２＝７
したがって、
－３≦ｚ≦７　……（答）

問３
ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＜０なのに、ａ＋ｂ＋ｃ＝１とは変ですね。
不等号のどれかは間違っていませんか？

ａ3 ＋ｂ3 ＋ｃ3 －３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ2 ＋ｂ2 ＋ｃ2 －ａｂ－ｂｃ－ｃａ）

　１
＝─（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ－ｂ）2 ＋（ｂ－ｃ）2 ＋（ｃ－ａ）2 ｝
　２

（ａ＋ｂ＋ｃ）＞０，（ａ－ｂ）2 ≧０，（ｂ－ｃ）2 ≧０，（ｃ－ａ）2 ≧０より、

ａ3 ＋ｂ3 ＋ｃ3 －３ａｂｃ≧０
ａ3 ＋ｂ3 ＋ｃ3 ≧３ａｂｃ
したがって、
最小値は３ａｂｃ（ａ＝ｂ＝ｃのとき）……（答）

問４
｛ｙ＝ａｘ2 －２ｘ＋（２ａ＋ｎ＋１）
｛ｙ＝ｘ2 －４ａｘ＋（－ａ＋２ｎ－１）
が共有点を持つのは、連立した解があることだから
（ａ－１）ｘ2 ＋（４ａ－２）ｘ＋（－３ａ＋ｎ－２）＝０……①
①の判別式Ｄ／４≧０より、
（２ａ－１）2 －（ａ－１）（－３ａ＋ｎ－２）≧０
７ａ2 －（５＋ｎ）ａ＋（ｎ－１）≧０……②
②の不等式が、すべての実数ａに対して成り立つためには
②の判別式Ｄ≦０だから、
（５＋ｎ）2 －４・７・（ｎ－１）≦０
ｎ2 －１８ｎ＋５３≦０
ｎ＝９±２√７より、
９－２√７≦ｎ≦９＋２√７
３．７２……≦ｎ≦１４．２８……
整数で考えると、
４≦ｎ≦１４
個数は１４－４＋１＝１１個……（答）

問５
｛ｘ2 ＋ｙ2 ≦８……①
｛Ｘ＝ｘ＋ｙ……②
｛Ｙ＝ｘ2 ＋ｙ2 －８……③
②を変形して、ｙ＝Ｘ－ｘ
これを③に代入して、
Ｙ＝ｘ2 ＋（Ｘ－ｘ）2 －８＝２ｘ2 －２Ｘｘ＋Ｘ2 －８
２ｘ2 －２Ｘｘ＋（Ｘ2 －８－Ｙ）＝０
解の公式より、
　　Ｘ±√｛Ｘ2 －２（Ｘ2 －８－Ｙ）｝
ｘ＝─────────────────
　　　　　　　　２

　　Ｘ±√（－Ｘ2 ＋２Ｙ＋１６）
　＝──────────────　……④
　　　　　　　　２
実数ｘより、√の中は≧０となるから
－Ｘ2 ＋２Ｙ＋１６≧０
　　１
Ｙ≧─Ｘ2 －８……⑤
　　２

ｙ＝Ｘ－ｘに④を代入して
　　　　Ｘ±√（－Ｘ2 ＋２Ｙ＋１６）
ｙ＝Ｘ－──────────────　……⑥
　　　　　　　　２

④と⑥を①に代入して計算すると、Ｙ≦０……⑦

⑤と⑦より、

面積は定積分で求めると、
　　　　4　　１
Ｓ＝－∫　（──Ｘ2 －８）ｄＸ
　　　-4　　 ２

　　　　　Ｘ3 　　　　4　　　　　６４　　　　　　　　６４
　＝－［　─　－８Ｘ］　　＝－（───－３２）＋（－───＋３２）
　　　　　６　　　　-4　　　　　　６　　　　　　　　　６

　　　１２８　　　　－１２８＋３８４　２５６　１２８
　＝－───＋６４＝────────＝───＝───　……（答）
　　　　６　　　　　　　　　６　　　　　６　　　３