質問＜３５６０＞２００７／６／１６
from=かおり
「整数について」

ｘ2乗+ｙ2乗＝ｚ2乗を満たすとき、次を示せ。
①ｘ、ｙ、ｘのうち少なくとも一つは偶数である。
②ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも一つは5の倍数である。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００７／６／１８
from=UnderBird

回答
ｘ2乗+ｙ2乗＝ｚ2乗を満たすとき、次を示せ。
①ｘ、ｙ、ｘのうち少なくとも一つは偶数である。
②ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも一つは5の倍数である。
よろしくお願いします。

①背理法による
　x,y,zがすべて奇数であるとする。
　すると、x^2,y^2,z^2もすべて奇数であり、奇数+奇数=奇数となり矛盾
　よって、少なくとも1つは偶数である。

②x,y,zすべて5の倍数でないとする。
　(5k+1)^2=5(5k^2+2k)+1
  (5k+2)^2=5(5k^2+4k)+4
  (5k+3)^2=5(5k^2+6k+1)+4
  (5k+4)^2=5(5k^2+8k+3)+1
  よって、x^2+y^2を5で割ったあまりは、0か2か3である。
　ところが、上の計算でわかるようにz^2を5で割ったあまりは1か4であるから、
　x^2+y^2=z^2を満たすx,y,zは存在しない。
　よって、ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも一つは5の倍数である。