質問

x,y,zをx＜y＜zなる自然数とする。
(1/x)+(1/y)+(1/z)=（1/2）を満たすx,y,zの組(x,y,z)の中で、
xが最大となる組を全て求めよ。

が、わかりません。ご指導お願いします。

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お便り２００６／９／２４
from=下野哲史

x,y,zをx＜y＜zなる自然数とする。
(1/x)+(1/y)+(1/z)=（1/2）を満たすx,y,zの組(x,y,z)の中で、
xが最大となる組を全て求めよ。

0＜x＜y＜z より 1/x＞1/y＞1/z であるから
1/x + 1/y + 1/z = 1/2
1/x + 1/x + 1/x ＞ 1/2
3/x ＞ 1/2
6 ＞ x
よって x=1,2,3,4,5
x=5 のときを考えると
1/5 + 1/y + 1/z = 1/2
1/5 + 1/y + 1/y ＞ 1/2
2/y ＞ 3/10
y ＜ 20/3=6.…
x＜y であるから y=6 しかありえない。
ところが
1/5 + 1/6 + 1/z =1/2
1/z = 2/15
であるから、z =15/2 となり不適
x=4 の場合は
1/4 + 1/y + 1/z = 1/2
1/4 + 1/y + 1/y ＞ 1/2
2/y ＞ 1/4
y ＜ 8
y=5,6,7 が考えられる。
以下同様に行えばよい。
y=5 は不適 , y=6 は z=12 で適する
y=7 は不適
以上より (x,y,z)=(4,6,12)

お便り２００６／９／２４
from=wakky

ｘ，ｙ，ｚは自然数で、ｘ＜ｙ＜ｚより
（１／ｘ）＜（１／ｘ）＋（１／ｙ）＋（１／ｚ）＜（３／ｘ）
すなわち
（１／ｘ）＜（１／２）＜（３／ｘ）
この不等式を解くと
２＜ｘ＜６
よって、ｘの取りうる値は、３，４，５のどれかです。
問題は、ｘが最大となる組なので
①ｘ＝５のとき
　（１／５）＋（１／ｙ）＋（１／ｚ）＝１／２
　これを整理して
　（３ｙ－１０）（３ｚ－１０）＝１００
　ｘ＜ｙ＜ｚを満たす自然数解はない。
②ｘ＝４のとき
　同様にして
　（ｙ－４）（ｚ－４）＝１６
　（ｙ，ｚ）＝（５，２０），（６，１２）
以上から
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（４，５，２０），（４，６，１２）