質問＜３３８２＞２００６／９／１３
from=ムー
「集合の問題」

図を用いてやれば説明がつきますが、そういうわけにもいかないみたいです・・・
どうもっていけばいいかわかりません。教えてください。

加法定理を用いて、任意の事象A，B，Cに対して、
P(A∪B∪C）＝P(A)+P(B)+P(C)－P(A∩B)－P(B∩C）－P(A∩C）＋P(A∩B∩C)
を示せ。

よろしくお願い致します。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／１４
from=UnderBird

加法定理P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)を用いる。
途中集合算の分配法則など利用

 P(A∪B∪C)
=P{(A∪B)∪C}
=P(A∪B)+P(C)-P{(A∪B)∩C}
=P(A)+P(B)-P(A∩B)+P(C)-P{(A∩C)∪(B∩C)}
=P(A)+P(B)-P(A∩B)+P(C)-{P(A∩C)+P(B∩C)-P{(A∩C)∩(B∩C)}
=P(A)+P(B)-P(A∩B)+P(C)-{P(A∩C)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)}
=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(C∩A)+P(A∩B∩C)}