質問＜３３４７＞２００６／８／２８
from=ワン
「多項式」

やってみたんですがわからなかったので、やり方と答えを教えてください。

xについての多項式Qを2x^2+5で割ると7x-4余り、
さらに、その商を3x^2+5x+2で割ると3x+8あまる。
Qを3x^2+5x+2で割ったときの余りを求めよ。

お願いしますm(-_-)m

★完全解答希望★

お便り２００６／８／３０
from=KINO

最初の条件から，
Q(x)=(2x^2+5)P(x)+7x-4
となります。ここで P(x) は商ですので，次の条件から
P(x)=(3x^2+5x+2)R(x)+3x+8
と表せます。ここで R(x) はある多項式です。
これを Q の式に代入すれば，
Q(x)=(2x^2+5){(3x^2+5x+2)R(x)+3x+8}+7x-4
　　=(3x^2+5x+2){(2x^2+5)R(x)}+(2x^2+5)(3x+8)+7x-4
を得ます。あとは，
(2x^2+5)(3x+8)+7x-4=6x^3+16x^2+22x+36
を 3x^2+5x+2 で割ると，
6x^3+23x^2+15x+36=(3x^2+5x+2)(2x+5)+8x+32
となりますので，結局
Q(x)=(3x^2+5x+2){(2x^2+5)R(x)+2x+5}+8x+32
となり，求める余りが 8x+32 であることがわかります。