質問

三角形ABCにおいて、AB=1、AC=2、∠BAC＝120°であるとき、
AからBCに下ろした垂線をAHとし、
ABベクトル=bベクトル。ACベクトル=ｃベクトルとすると、
bベクトル・cベクトルを求めよ。
またAHベクトルを、bベクトル、cベクトルで表せ。

★完全解答希望★

お便り２００６／８／３０
from=KINO

ベクトルを表すのに，簡単に b，c という文字を使うことにします。
したがって，|b| はベクトル b の大きさを表す記号となります。

まず，b・c=|b|*|c|*cos120°=1*2*(-1/2)=-1 です。

次に，ベクトル AH を h で表すことにします。
H は直線 BC 上にあるので，ある実数 x を用いて
h=(1-x)b+xc
と表せます。
これが直線 BC に垂直なので，h は b-c に垂直です。
したがって h・(b-c)=0 です。
よって b・b=|b|^2=1，c・c=|c|^2=4，b・c=c・b=-1 より，
０={(1-x)b+xc}・(b-c)
　=(1-x)|b|^2-(1-x)b・c+xc・b-x|c|^2
　=1-x+1-x-x-4x=2-7x
となり，これから x=2/7 を得ます。
あとはこれを h=(1-x)b+xc に代入すれば，
ベクトル AH =(5/7)b+(2/7)c
となります。