質問＜３３３６＞２００６／８／２４
from=健
「不等式の証明」

a^2+b^2+c^2+3/4≧a+b+cを証明せよ

★完全解答希望★

お便り２００６／８／２６
from=KINO

(x-1/2)^2=x^2-x+1/4 なので，x=a, b, c を代入して得られる等式
(a-1/2)^2=a^2-a+1/4
(b-1/2)^2=b^2-b+1/4
(c-1/2)^2=c^2-c+1/4
を辺々足せば，
(a-1/2)^2+(b-1/2)^2+(c-1/2)^2=a^2-a+1/4+b^2-b+1/4+c^2-c+1/4
=(a^2+b^2+c^2+3/4)-(a+b+c).
a, b, c が実数ならば，
(a-1/2)^2+(b-1/2)^2+(c-1/2)^2≧0
なので，
(a^2+b^2+c^2+3/4)-(a+b+c)≧0.
-(a+b+c) を右辺に移項すれば示すべき不等式が得られます。

お便り２００６／８／２６
from=μG

　(左辺)-(右辺) = a^2+b^2+c^2+3/4-(a+b+c)
　　　　　　　　= a^2-a+1/4 + b^2-b+1/4 + c^2-c+1/4
　　　　　　　　= (a-1/2)^2 + (b-1/2)^2 + (b-1/2)^2
ここで
　(a-1/2)^2≧0、 (b-1/2)^2≧0、 (b-1/2)^2≧0
であるから
　(左辺)-(右辺)≧0 
　∴　a^2+b^2+c^2+3/4≧a+b+c