質問＜３２７３＞２００６／６／２６
from=とたん
「積分」

(1)
∫1/{x^3+2(x^2)+x+2}dx

(2)
∫{x^3+2(x^2)-2}/(x^2+x-2)dx

(3)
∫{(1+sinx)/(1+cosx)}dx

ご教授よろしくお願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／６／２９
from=亀田馬志

こーゆーつまらない計算問題はフリー数式処理ソフトMAXIMA for Windowsを
使って解いてしまいましょう。
こう言うのは｢数学｣ではないのです。

MAXIMAをダウンロードして起動したら、積分コマンドintegrateを使って
次のようにセミコロン(;)まで入力してリターンキーを押して下さい。
それで答えを確認してみましょう。
下にコマンドを列挙しておきます。

(1)

integrate(1/(x^2+2*x^2+x+2),x);

(2)

integrate((x^3+2*x^2-2)/(x^2+x-2),x);

(3)

integrate((1+sin(x))/(1+cos(x)),x);

お便り２００６／６／２９
from=yamada

(1)
x^3+2x^2+x+2=(x+2)(x^2+1)より、部分分数分解より
1/{x^3+2x^2+x+2}=1/5*{1/(x+2) + (-x+2)/(x^2+1)}
とできるので、
∫1/{x^3+2x^2+x+2}dx=1/5*(log|x+2| -1/2*log(x^2+1) + 2*Arctan(x)} + C.

(2)x^3+2x^2-2=x(x^2+x-2)+x^2+2x-2より
{x^3+2x^2-2}/(x^2+x-2) =x+(x^2+2x-2)/(x^2+x-2)
=x+1+x/(x^2+x-2)
=x+1+2/{3(x+2)}+1/{3(x-1)}
を使って、
∫{x^3+2(x^2)-2}/(x^2+x-2)dx
=∫(x+1+2/{3(x+2)}+1/{3(x-1)})dx
=(x^2)/2 + x+(2/3)*log|x+2|+(1/3)*log|x-1| +C.

(3)∫{(1+sinx)/(1+cosx)}dx
=∫{-(1+cosx)'/(1+cosx)+1/(1+cosx)}dx
= - log(1+cosx) + ∫1/(1+cosx)dx
= - log(1+cosx) + A
ここで、tan(x/2)=t と置くと, dx=(2/(1+t^2))dt.
cosx=cos(2(x/2))=(1-t^2)/(1+t^2).
よって,
 A=∫1/{1+(1-t^2)/(1+t^2)}*(2/(1+t^2))dt
  =∫dt
  = t =tan(x/2) + C

以上をあわせると、
∫{(1+sinx)/(1+cosx)}dx
= - log(1+cosx) + tan(x/2) + C.
となる.