質問＜３２７２＞２００６／６／２５
from=なおひ
「最小」

急ぎです。すいませんお願いします。

曲線y=x^3上の点Ｐ(t,t^3)　(0＜t＜1)をとる。
A(1,1),B(-1,-1),∠BPA=θとする。

(1)tanθをtで表せ。

(2)θが最小となるときのtの値を求めよ。

が、解りません。どなたか教えてください。

★完全解答希望★

お便り２００６／７／２６
from=主夫

曲線y=x^3上の点Ｐ(t,t^3)　(0＜t＜1)をとる。
A(1,1),B(-1,-1),∠BPA=θとする。

(1)tanθをtで表せ。
直線APの傾きは
(t^3-1)/(t-1)=t^2+t+1  (∵t≠1)であり，
tanα=t^2+t+1　とおく．
他方，直線BPの傾きは
(t^3+1)/(t+1)=t^2-t+1  (∵t≠-1)であり，
tanβ=t^2+t+1　とおく．

0＜t＜1より，π/2＜θ＜π　
となるから（APとBPのなす角の補角がθ），←この辺の記述が曖昧です
tanθ
=tan(π-(α-β))
=-tan(α-β)
=-{(t^2+t+1)-(t^2-t+1)}/{1+(t^2+t+1)(t^2-t+1)}
=-2t/(t^4+t^2+2)

(2)θが最小となるときのtの値を求めよ。
このときtanθも最小となるから，
f(t)=-2t/(t^4+t^2+2)  とおいて
0＜t＜1の範囲でf(t)の最小値を求めればよい．
f'(t)=(4t^4+2t^2-4)/(t^4+t^2+2)　より
f'(t)=0　となるのは
t=(√5-1)/2　のときである．
0＜t＜1に注意して増減表を書くと（省略）
t=(√5-1)/2　のとき最小値をとる．

あんまり自信ありませんので，どなたか検証していただけるとありがたいです．