質問＜３２７＞２０００／９／２８
from=ももっち
「正弦定理・余弦定理の問題」

1.a+b=2c(sinA+sinB)の時、cを求めよ。
2.次の関係が成り立つとき、ΔABCはそれぞれどんな三角形か。
　(1)a/cosA=b/cosB=c/cosC
　(2)a2sinA=b2sinB
　(3)sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
　(4)cacosA-cbcosB=(a2-b2)cosC
この５問全部じゃなくてもいいので教えて下さい！
（できれば全部お願いします・・・。）
文字の後の2は二乗の意味です。

お返事２０００／９／２９
from=武田

問１
正弦定理より、
　　　　　ａ　　　　　　ｂ
sinＡ＝───、sinＢ＝──
　　　　２Ｒ　　　　　２Ｒ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＋ｂ
ａ＋ｂ＝２ｃ（sinＡ＋sinＢ）＝２ｃ（─────）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２Ｒ

２Ｒ＝２ｃ　∴ｃ＝Ｒ（外接円の半径）……（答）

問２（１）
　ａ　　　ｂ　　　ｃ
───＝───＝───の左辺と中辺より、
cosＡ　　cosＢ　cosＣ

ａcosＢ＝ｂcosＡ
余弦定理より、
　　ａ2 ＋ｃ2 －ｂ2 　　　ｂ2 ＋ｃ2 －ａ2 
ａ・────────＝ｂ・────────
　　　　２ａｃ　　　　　　　　２ｂｃ
両辺に２ｃをかけて、
ａ2 ＋ｃ2 －ｂ2 ＝ｂ2 ＋ｃ2 －ａ2 
２ａ2 －２ｂ2 ＝０
（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）＝０
ａ＋ｂ＞０より、ａ－ｂ＝０
∴ａ＝ｂ……①

続いて、中辺と右辺より、
ｂcosＣ＝ｃcosＢ
余弦定理より、
　　ａ2 ＋ｂ2 －ｃ2 　　　ａ2 ＋ｃ2 －ｂ2 
ｂ・────────＝ｃ・────────
　　　　２ａｂ　　　　　　　　２ａｃ
両辺に２ａをかけて、
ａ2 ＋ｂ2 －ｃ2 ＝ａ2 ＋ｃ2 －ｂ2 
２ｂ2 －２ｃ2 ＝０
（ｂ－ｃ）（ｂ＋ｃ）＝０
ｂ＋ｃ＞０より、ｂ－ｃ＝０
∴ｂ＝ｃ……②

①と②より、ａ＝ｂ＝ｃだから、正三角形……（答）

問２（２）
ａ2 sinＡ＝ｂ2 sinＢ
正弦定理より、
ａ3 　ｂ3 
──＝──
２Ｒ　２Ｒ

ａ3 －ｂ3 ＝０
（ａ－ｂ）（ａ2 ＋ａｂ＋ｂ2 ）＝０
ａ2 ＋ａｂ＋ｂ2 ＞０より、
ａ－ｂ＝０
∴ａ＝ｂの二等辺三角形……（答）

問２（３）
sinＡcosＡ＋sinＢcosＢ＝sinＣcosＣ
正弦定理と余弦定理を使って、
　ａ　ｂ2 ＋ｃ2 －ａ2 　　ｂ　ａ2 ＋ｃ2 －ｂ2 　　ｃ　ａ2 ＋ｂ2 －ｃ2 
──・────────＋──・────────＝──・────────
２Ｒ　　　２ｂｃ　　　　２Ｒ　　　２ａｃ　　　　２Ｒ　　　２ａｂ
両辺に４Ｒａｂｃをかけて、
ａ2 （ｂ2 ＋ｃ2 －ａ2 ）＋ｂ2 （ａ2 ＋ｃ2 －ｂ2 ）＝ｃ2 （ａ2 ＋ｂ2 －ｃ2 ）
ａ2 ｂ2 ＋ａ2 ｃ2 －ａ4 ＋ａ2 ｂ2 ＋ｂ2 ｃ2 －ｂ4 －ａ2 ｃ2 －ｂ2 ｃ2 ＋ｃ4 ＝０
ａ4 ＋ｂ4 －ｃ4 －２ａ2 ｂ2 ＝０
（ａ2 －ｂ2 ）2 －ｃ4 ＝０
（ａ2 －ｂ2 －ｃ2 ）（ａ2 －ｂ2 ＋ｃ2 ）＝０
ａ2 －ｂ2 －ｃ2 ＝０より、
ａ2 ＝ｂ2 ＋ｃ2 
∴斜辺ａの直角三角形……（答）
または、
ａ2 －ｂ2 ＋ｃ2 ＝０より、
ｂ2 ＝ａ2 ＋ｃ2 
∴斜辺ｂの直角三角形……（答）

問２（４）
ｃａcosＡ－ｃｂcosＢ＝（ａ2 －ｂ2 ）cosＣ
余弦定理より、
　　　ｂ2 ＋ｃ2 －ａ2 　　　　ａ2 ＋ｃ2 －ｂ2 　　　　　　　　　ａ2 ＋ｂ2 －ｃ2 
ｃａ・────────－ｃｂ・────────＝（ａ2 －ｂ2 ）・────────
　　　　　２ｂｃ　　　　　　　　　２ａｃ　　　　　　　　　　　　　　２ａｂ
両辺に２ａｂをかけて、
ａ2 （ｂ2 ＋ｃ2 －ａ2 ）－ｂ2 （ａ2 ＋ｃ2 －ｂ2 ）－（ａ2 －ｂ2 ）（ａ2 ＋ｂ2 －ｃ2 ）＝０
ａ2 ｂ2 ＋ａ2 ｃ2 －ａ4 －ａ2 ｂ2 －ｂ2 ｃ2 ＋ｂ4 －ａ4 －ａ2 ｂ2 ＋ａ2 ｃ2 ＋ａ2 ｂ2 ＋ｂ4 －ｂ2 ｃ2 ＝０
－２ａ4 ＋２ａ2 ｃ2 －２ｂ2 ｃ2 ＋２ｂ4 ＝０
（ａ4 －ｂ4 ）－ｃ2 （ａ2 －ｂ2 ）＝０
（ａ2 －ｂ2 ）（ａ2 ＋ｂ2 －ｃ2 ）＝０
ａ2 －ｂ2 ＝０より、
（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）＝０
ａ＋ｂ＞０より、ａ－ｂ＝０
∴ａ＝ｂの二等辺三角形……（答）
または、
ａ2 ＋ｂ2 －ｃ2 ＝０より、
ｃ2 ＝ａ2 ＋ｂ2 
∴斜辺ｃの直角三角形……（答）