質問＜３２８＞２０００／１０／１
武田先生いつもお世話になっております。
定積分を使うところでわからないものが2問あるので
質問させてください
（問１）(名古屋市立大)
実数全体で定義された関数f(x)=x・e^-x
について次の問いに答えよ
(1)
f(α)=f(β),2α=βを満たす相異なるα、βを計算せよ
(2)
(1)で求めたα、βに対して定積分∫(from α to β)f(x)dxを計算せよ
（問２）(立命館大)
f(x)およびg(x)はともに整式で、f(sinθ)=sin3θ、g(sinθ)=sin5θを満たすとすると
f(x)、g(x)を求めよ。
またこのときf(x)の -1≦x≦1 における解の個数を求めよ
そして、定積分 I,Jを
I=∫(from -1/2 to 1/2) {f(x)g(x)/√(1-x^2)}dx
J=∫(from -1/2 to 1/2) {(g(x))^2/√(1-x^2)}dx
とおくときI,Jを求めよ
お返事２０００／１０／２
from=武田
問１ ｆ（ｘ）＝ｘｅ-x ｆ（α）＝αｅ-α ｆ（β）＝ｆ（２α）＝２αｅ-2α ｆ（α）＝ｆ（β）より、 αｅ-α＝２αｅ-2α αｅ-α（１－２ｅ-α）＝０ α≠βより、α≠０、ｅ-α＞０ １－２ｅ-α＝０ ｅ-α＝１／２ －α＝ｌｏｇe （１／２） α＝－（－ｌｏｇe ２） ＝ｌｏｇe ２ ＝ｌｎ２ ……（答） （ｌｏｇe をｌｎと表す） β＝２α ＝２ｌｎ２ ＝ｌｎ２2 ＝ｌｎ４……（答） β ln4 ∫ ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ ｘｅ-xｄｘ α ln2 ln4 ln4 ＝［－ｘｅ-x］ －∫ （－１・ｅ-x）ｄｘ ln2 ln2 ln4 ＝－ln4ｅ-ln4＋ln2ｅ-ln2＋［－ｅ-x］ ln2 ＝－ln4／４＋ln2／２－ｅ-ln4＋ｅ-ln2 ＝－ln4／４＋ln2／２－１／４＋１／２ ＝－ln2／２＋ln2／２－１／４＋２／４ ＝１／４……（答） 問２ ｆ（sinθ）＝sin３θ＝３sinθ－４sin3 θ ｆ（ｘ）＝３ｘ－４ｘ3 ……（答） ｇ（sinθ）＝sin５θ＝sin３θcos２θ＋cos３θsin２θ ＝(３sinθ－４sin3 θ)(１－２sin2 θ)＋(４cos3 θ－３cosθ)(２sinθcosθ) ＝３sinθ－６sin3 θ－４sin3 θ＋８sin5 θ＋８sinθcos4 θ－６sinθcos2 θ ＝３sinθ－１０sin3 θ＋８sin5 θ＋８sinθ（１－sin2 θ）2 －６sinθ（１－sin2 θ） ＝５sinθ－２０sin3 θ＋１６sin5 θ ｇ（ｘ）＝５ｘ－２０ｘ3 ＋１６ｘ5 θ……（答） －１≦ｘ≦１のとき、ｆ（ｘ）＝３ｘ－４ｘ3 がｘ軸と何回 交わるかを調べてみよう。 ３ｘ－４ｘ3 ＝０ ｘ（３－４ｘ2 ）＝０ ∴ｘ＝０または、３－４ｘ2 ＝０ ３－４ｘ2 ＝０を解くと、 ４ｘ2 ＝３ ｘ2 ＝３／４ ｘ＝±√３／２ √３／２＜１より、 解は３つある……（答） 1/2 ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ） Ｉ＝∫ ──────────ｄｘ -1/2 √（１－ｘ2 ） ｘ＝sinθより、 ｄｘ＝cosθｄθ √（１－ｘ2 ）＝√（１－sin2 θ）＝cosθ ｘ｜-1/2 → 1/2 ────────── θ｜－π/6→ π/6 π/6 ｆ（sinθ）・ｇ（sinθ） Ｉ＝∫ ────────────・cosθｄθ -π/6 cosθ π/6 ＝∫ sin３θ・sin５θｄθ -π/6 π/6 １ ＝∫ －─｛cos８θ－cos（－２θ）｝ｄθ －π/6 ２ １ π/6 ＝－─・∫ （cos８θ－cos２θ）ｄθ ２ －π/6 １ sin８θ sin２θ π/6 ＝－─・［─────－─────］ ２ ８ ２ －π/6 １ －√３ √３ √３ －√３ ＝－─｛（────－──）－（────－────）｝ ２ １６ ４ １６ ４ √３ √３ ５√３ ＝──＋──＝─── ……（答） １６ ４ １６ 次に 1/2 ｛ｇ（ｘ）｝2 Ｊ＝∫ ──────────ｄｘ -1/2 √（１－ｘ2 ） ｘ＝sinθより、 ｄｘ＝cosθｄθ √（１－ｘ2 ）＝√（１－sin2 θ）＝cosθ ｘ｜-1/2 → 1/2 ────────── θ｜－π/6→ π/6 π/6 ｛ｇ（sinθ）｝2 Ｊ＝∫ ──────────・cosθｄθ -π/6 cosθ π/6 ＝∫ （sin５θ）2 ｄθ -π/6 π/6 １－cos１０θ ＝∫ ────────ｄθ －π/6 ２ １ sin１０θ π/6 ＝─・［θ－──────］ ２ １０ －π/6 １ π －√３ π √３ ＝─｛（─－───）－（－─－──）｝ ２ ６ ２０ ６ ２０ π √３ ＝─＋── ……（答） ６ ２０