質問＜３２２＞２０００／９／１６
from=塚本
「微分の応用」

武田先生おはようございます。
微分のところを勉強していてわからないところが
2題ほどあるので教えていただけないでしょうか?

問１
aを実数とする。曲線y=e^x上の各点における法線のうちで
点P(a.3)を通るものの個数をn(a)とする
n(a)を求めよ

問２
xの方程式 alog(x+a)+(a/2)x^2-x=0はただ一つの
実数解をもつことを示せ。
ただしaは正の実数とし対数は自然対数とする。

お返事２０００／９／１７
from=武田

問１

曲線上の点Ａ（ｂ，ｅb ）から法線の方程式を求めると、
　　　　　　１
ｙ－ｅb ＝－──（ｘ－ｂ）
　　　　　　ｅb 
この直線が点Ｐ（ａ，３）を通るから
　　　　　　１
３－ｅb ＝－──（ａ－ｂ）
　　　　　　ｅb 

３ｅb －ｅ2b＝－ａ＋ｂ
ａ＝ｂ＋ｅ2b－３ｅb 
左辺と右辺を別々にしてグラフを書く。そこで右辺の変数ｂを変数ｘ
に変えると、
｛ｙ＝ａ……①
｛ｙ＝ｘ＋ｅ2x－３ｅx ……②
②のグラフを書くために、微分して、
ｙ′＝１＋２ｅ2x－３ｅx
ｙ′＝０より、
２ｅ2x－３ｅx＋１＝０
（２ｅx－１）（ｅx－１）＝０
ｅx＝１／２，ｅx＝１
ｘ＝log（１／２），ｘ＝log１
∴ｘ＝－log２，ｘ＝０
増減表
ｘ　｜……　｜－log２｜……　｜　０　｜……　
────────────────────────
ｙ′｜　＋　｜　 ０　｜　－　｜　０　｜　＋　
────────────────────────
ｙ　｜　増加｜　 　　｜　減少｜　　　｜　増加
ｆ′（－２log２）＝１＋２・２-4－３・２-2
　　　　　　　　 ＝１＋１／８－３／４＝３／８＞０
ｆ′（－log１．５）＝１＋２・４／９－３・２／３
　　　　　　　　　 ＝１＋８／９－２＝－１／９＜０
ｆ′（log２）＝１＋２・４－３・２
　　　　　　 ＝１＋８－６＝３＞０
極大値ｆ（－log２）＝－log２＋１／４－３／２＝－５／４－log２
極小値ｆ（０）＝０＋１－３＝－２

このグラフと直線ｙ＝ａとの交点から、個数ｎ（ａ）を考えて、
（答）｛ｎ（ａ＜－２）＝１
　　　｛ｎ（－２）＝ｎ（－５／４－log２）＝２
　　　｛ｎ（－２＜ａ＜－５／４－log２）＝３
　　　｛ｎ（ａ＞－５／４－log２）＝１

問２
　　　　　　　　　ａ
ａlog（ｘ＋ａ）＋──ｘ2 －ｘ＝０
　　　　　　　　　２
左辺をｆ（ｘ）とおいて、
　　　　　　　　　　　　　　ａ
ｆ（ｘ）＝ａlog（ｘ＋ａ）＋──ｘ2 －ｘ
　　　　　　　　　　　　　　２
微分して、
　　　　　　　ａ　　　　　　　ａ＋ａｘ2 －ｘ＋ａ2 ｘ－ａ
ｆ′（ｘ）＝───＋ａｘ－１＝─────────────
　　　　　　ｘ＋ａ　　　　　　　　　ｘ＋ａ

　　　　　　ａｘ2 ＋（ａ2 －１）ｘ　　ｘ（ａｘ＋ａ2 －１）
　　　　　＝───────────＝──────────
　　　　　　　　　ｘ＋ａ　　　　　　　　　ｘ＋ａ

ｆ′（ｘ）＝０より、
　　　　　　　１－ａ2 
∴ｘ＝０，ｘ＝────，ｘ≠－ａ
　　　　　　　　ａ

ｆ（０）＝ａlogａ

　　１－ａ2 　　　　　　１－ａ2 　　　　　ａ　　１－ａ2 　　　　１－ａ2 
ｆ（────）＝ａlog（─────＋ａ）＋──（─────）2 －─────
　　　ａ　　　　　　　　　ａ　　　　　　　２　　　ａ　　　　　　　ａ

　　　　　　　　　　　　　　ａ4 －１
　　　　　　　＝－ａlogａ＋─────
　　　　　　　　　　　　　　　２ａ

　　　１－ａ2 
①０＜────の場合
　　　　ａ

（１－ａ）（１＋ａ）＞０
（ａ－１）（ａ＋１）＜０
∴－１＜ａ＜１
条件よりａ＞０
したがって、０＜ａ＜１
増減表
ｘ　　　　｜－ａ　｜……　｜　０　｜……　｜（１－ａ2 ）／ａ｜……
───────────────────────────────────
ｆ′（ｘ）｜　／　｜　＋　｜　０　｜　－　｜　　　０　　　　｜　＋　
───────────────────────────────────
ｆ（ｘ）　｜　／　｜　増加｜　　　｜　減少｜　　　　　　　　｜　増加

０＜ａ＜１より、
ｆ（０）＝ａlogａ＜０

図より、ｘ軸との交点が１つだから、ｆ（ｘ）＝０の実数解は１個

　　　１－ａ2 
②０＝────の場合
　　　　ａ

（１－ａ）（１＋ａ）＝０
∴ａ＝１，ａ＝－１
条件よりａ＞０
したがって、ａ＝１
増減表
ｘ　　　　｜－１　｜……　｜　０　｜……　
─────────────────────
ｆ′（ｘ）｜　／　｜　＋　｜　０　｜　＋　
─────────────────────
ｆ（ｘ）　｜　／　｜　増加｜　　　｜　増加

ａ＝１より、
ｆ（０）＝ａlogａ＝log１＝０

図より、ｘ軸との交点が１つだから、ｆ（ｘ）＝０の実数解は１個

　　　１－ａ2 
③０＞────の場合
　　　　ａ

（１－ａ）（１＋ａ）＜０
（ａ－１）（ａ＋１）＞０
∴ａ＜－１，１＜ａ
条件よりａ＞０
したがって、１＜ａ
増減表
ｘ　　　　｜－ａ　｜……　｜（１－ａ2 ）／ａ｜……　｜　０　｜……
───────────────────────────────────
ｆ′（ｘ）｜　／　｜　＋　｜　　　０　　　　｜　－　｜　０　｜　＋　
───────────────────────────────────
ｆ（ｘ）　｜　／　｜　増加｜　　　　　　　　｜　減少｜　　　｜　増加

１＜ａより、
ｆ（０）＝ａlogａ＞０

図より、ｘ軸との交点が１つだから、ｆ（ｘ）＝０の実数解は１個

したがって、①②③より、
ａ＞０のとき、ｆ（ｘ）＝０は、ただ１個の実数解をもつ。