質問＜３２１＞２０００／９／１４
from=ももっち
「因数定理・剰余定理」

題名の通りなんですが因数定理と剰余定理がよくわかりません。
問題がどうというより意味が分かってないんです。
どういう時に使うのか、この二つの見分け方などが分かりません。
そのほか何かこうすればいい、というようなのがあれば
そちらもよろしくお願いします。

お返事２０００／９／１５
from=武田

因数分解をするときに使うのが、因数定理で、
わり算して余りを求めるのが、剰余定理です。
ｆ（ｘ）＝ｘ3 －２ｘ－１とおいたとき、
ｆ（１）＝１3 －２・１－１＝１－２－１＝－２
これが剰余の定理。
つまり、代入したｘ＝１を変形して、（ｘ－１）
３次式ｆ（ｘ）を（ｘ－１）で割ったときの余りが、この－２である。
確かめに実際にわり算をしてみると、
　　　　ｘ2 ＋ｘ　－１
　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ｘ－１）ｘ3 　　　－２ｘ－１
　　　　ｘ3 －ｘ2 
　　　─────────
　　　　　　　ｘ2 －２ｘ
　　　　　　　ｘ2 －　ｘ
　　　　　　────────
　　　　　　　　　－　ｘ－１
　　　　　　　　　－　ｘ＋１
　　　　　　　　──────
　　　　　　　　　　　　－２
上記のような縦書きのわり算をするのは大変なので、剰余の定理は便利です。

同様に
ｆ（－１）＝（－１）3 －２（－１）－１＝－１＋２－１＝０
これが因数定理です。
つまり、代入したｘ＝－１を変形して、（ｘ＋１）
これが、３次式ｆ（ｘ）の因数となることを言っている。
これは剰余の定理より、
ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１）Ｑ（ｘ）＋０
　　　　　　　　　　　　　　　↑
　　　　　　　　　　　　　　　余り
　　　　＝（ｘ＋１）Ｑ（ｘ）
　　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　↑　因数分解されている。

もう１つの因数Ｑ（ｘ）は、わり算で求めた商にあたる。
蛇足だが、わり算は組立除法が便利である。
やってみると、
ｆ（ｘ）＝ｘ3 －２ｘ－１の係数を並べて、

１　　０　－２　－１　｜－１←これが（ｘ＋１）
　　－１　　１　　１　￣￣￣
───────────────
１　－１　－１｜　０　←これが余り
^^^^^^^^^^^^^^
↑　これが商の係数
Ｑ（ｘ）＝ｘ2 －ｘ－１

したがって、
ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１）（ｘ2 －ｘ－１）