質問＜３２１８＞2006/６/１
from=A・T
「加法定理の応用」

O（０，０）A（sin2α,-sinα）B（cos2α,cosα）を頂点とする三角形OABがある。
面積S（α）とするときS（α）を求めよ。またS（α）が最大となるときのαと
そのときの三角形OABの形状を答えよ。ただし０＜α＜π/3とする。
よろしくおねがいします！！

★完全解答希望★

お便り２００６／６／３
from=wakky

Ｓ(α)＝(1/2)|sin２α・cosα＋sinα・cos２α|
     ＝(1/2)|２sinα・cos^2α＋sinα・(１－２sin^2α)|
     ＝(1/2)|２sinα・(１－sin^2α)＋sinα－２sin^3α|
     ＝(1/2)|３sinα－４sin^3α|
     ＝(1/2)|sin３α|
０＜α＜π/3　より　０＜３α＜π
∴　sin３α＞０
したがって
Ｓ(α)＝(1/2)・sin３α・・・（答）

Ｓ(α)が最大となるのは、sin３αが最大となるときで、
０＜３α＜π　で　sin３αが最大となるのは
３α＝π/2のときだから、α＝π/6・・・（答）

α＝π/6のとき
Ａ(√3/2，-1/2），Ｂ(1/2，√3/2)だから
ＯＡ＝ＯＢ＝1　ＡＢ＝√2
よって、△ＯＡＢは
ＯＡ＝ＯＢ＝1の直角二等辺三角形・・・（答）