質問＜３２０１＞２００６／５／２３
from=地蔵
「三角関数」

半径１の円に内接する正十角形ABCDEFGHIJにおいて、
２線分AB,ADの長さの積AB・ADを求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／２８
from=wakky

正十角形の外接円の中心をＯとして
△ＯＡＢについて考えます。
△ＯＡＢは∠Ｏ＝３６°、∠Ａ＝∠Ｂ＝７２°
ＯＡ＝ＯＢ＝１　の二等辺三角形です。
今、辺ＯＢ上に、ＡＢ＝ＡＰとなるような点Ｐをとると
△ＯＡＢと△ＡＢＰは相似な三角形となります。
また、△ＰＯＡは二等辺三角形となります。
（なぜそうなるかはご自分で検証してください）
ＡＢ＝ｘとおくと
ＯＰ＝ｘなのでＢＰ＝１－ｘ
相似であることを利用して
１：ｘ＝ｘ：１－ｘ
よって
ｘ＝ＡＢ＝（－１＋√５）／２
次に
△ＯＡＤについて考えます。
辺ＡＤ上にＯＱ＝ＤＱとなるような点Ｑを取ります。
あとは同じような要領で
ＡＤ＝ｙとおくと
１：ｙ＝ｙ－１：１
ｙ＝ＡＤ＝（１＋√５）／２
以上から
ＡＢ・ＡＤ＝（５－１）／４＝１
おもしろい結果ですね。