質問＜３２００＞２００６／５／２３
いつもお世話になってます。 既出だったら申し訳ないのですが、見つけられなかったので、質問させてください。 (1)y=e^sin^(-1)xについて次に答えよ。 (a) (1-x^2)y''-xy'-yを計算せよ。 (b) (a)の結果の両辺をｋ回微分せよ。 (c) y^(n) (0)を求めよ。 (2)次の導関数を求めよ。 (a) y=(sinx)^cosx (b) y=xtan^(-1)x-1/2log(1+x^2) (c) y=log(x+√(x^2+1) です。微分はチンプンカンプンなんでご指導の方よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り２００６／６／１５
from=亀田馬志
＞微分はチンプンカンプンなんで
ちょっと意味が分からないコメントですね。
もし解析の授業を受けていて｢微分はチンプンカンプン｣だったらこれは問題です。教科書
を読んだ方がイイでしょう。
もし趣味で微積に関わっていらっしゃるなら、もっと落ち着いて｢楽しんで｣教科書を読む
べきでしょうね。
｢ちょっとだけ微積の世界を覗いてみたい｣のも悪くはありませんが、でしたら難問に手を
出すべきではありません････と言いたいトコロですが、コンピュータソフトを使えば意外
と簡単に｢微積の世界｣を覗けるものです。
ってなワケで、ここではフリー数式処理ソフトMAXIMA(ウィンドウズ版)を利用し
て問題を見てみましょう。これなら｢微分はチンプンカンプン｣でも見よう見まねで解く事
が出来ますし、ましてや｢微分はチンプンカンプン｣ならここで微分の解説をするのもアレ
ですし、だったら初めから教科書を読んだ方がマシだからです。
MAXIMAを英語の指示(と言っても簡単な英語ですが)に従ってダウンロード/イン
ストールすると、デスクトップ上にアイコンが出来る筈です。それをダブルクリックすると、
Maxima 5.9.3 http://maxima.sourceforge.net
Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (aka GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
This is a development version of Maxima. The function bug_report()
provides bug reporting information.
(%i1)
と書かれた画面が立ち上がります。これで起動は成功です。
(%i1)と言うのは一種のプロンプトで｢入力待ち｣と言った意味です。ここのアトにコマン
ドを入力していけばMAXIMAが全て計算してくれます。ではやってみましょう。
＞(1)y=e^sin^(-1)xについて次に答えよ。
＞(a) (1-x^2)y''-xy'-yを計算せよ。
MAXIMAでの微分コマンドは
diff(関数,微分したい変数)
です。
ここで次のように(%i1)のアトにセミコロン(;)まで入力して下さい。
(%i1)y:exp(asin(x));
ここでMAXIMAの約束事ですが、
y:⇒yと言う変数名で以下の式を定義せよ
exp()⇒ネピア数eの指数関数
asin()⇒三角関数の逆関数、arcsinの意味
です。つまり問題文のy=e^sin^(-1)xそのものを打ち込んでるんですね。ではリターン
キーを押して下さい。
asin(x)
(%o1) %e
と言った出力が表示される筈です。これはまさしくy=e^sin^(-1)xの事で、この時点では
微分もクソもありません。単にyと言う関数を定義しただけ、ですね。
ところで(%o1)が出力されたアト、同時に(%i2)と言った記号も出力されている筈です。
これは新しい入力待ち、ですね。ここにまたコマンドを打ち込めば別の計算を行ってくれ
るワケです。
いよいよ微分してみましょう。次のコマンドをセミコロン(;)まで打ち込んでみましょう。
(%i2) y1:diff(y,x);
ここでは新しく関数y1を定義しています。内訳は、｢yをxで微分したもの｣です。yは先ほ
ど(%i1)で定義した関数ですね。
リターンキーを押すと次のように出力してくれます。
asin(x)
%e
(%o2) ------------
2
sqrt(1 - x )
つまり与えられたyの1階微分は
y'＝exp(arcsin(x))/√(1－x^2)
のようです。
また入力待ち(%i3)が表示されているでしょうから、今度はまた新しい関数y2を次のよう
に入力してみましょう。
(%i3) y2:diff(y1,x);
y2は｢y1をxで微分したモノ｣です。これが2階微分になりますね。
リターンキーを押すと、
asin(x) asin(x)
%e x %e
(%o3) --------- + -----------
2 2 3/2
1 - x (1 - x )
つまり2階微分y"は
y"＝exp(arcsin(x))/(1－x^2)＋x*exp(arcsin(x))/{(1－x^2)^(3/2)}
のようです。
では、また入力待ち(%i4)があるでしょうから、問題の関数をaとして定義してみましょうか。
(%i4) a:(1-x^2)*y2-x*y1-y;
リターンキーを押すと、
asin(x) asin(x) asin(x)
2 %e x %e x %e
(%o4) (1 - x ) (--------- + -----------) - ------------
2 2 3/2 2
1 - x (1 - x ) sqrt(1 - x )
asin(x)
- %e
つまり(a)の解は
(1－x^2)*【exp(arcsin(x))/(1－x^2)＋x*exp(arcsin(x))/{(1－x^2)^(3/2)}】
－x*exp(arcsin(x))/√(1－x^2)－exp(arcsin(x))
となります。
見辛いようでしたら、式を展開する事も出来ます。
式を展開する場合のコマンドは
expand(展開したい式);
で記述できるので、(%i5)のアトで
(%i5) expand(a);
と入力してリターンキーを押すと、
asin(x) 2 asin(x) asin(x)
x %e x %e %e
(%o5) - ------------ - ------------ + ---------
2 2 2
sqrt(1 - x ) 1 - x 1 - x
3 asin(x) asin(x)
x %e x %e asin(x)
- ------------ + ----------- - %e
2 3/2 2 3/2
(1 - x ) (1 - x )
と数式を展開してくれます。
＞(b) (a)の結果の両辺をｋ回微分せよ。
＞(c) y^(n) (0)を求めよ。
(a)で関数aを定義したので、
a1:diff(a,x);
a2:diff(a1,x);
a3:･･････
と計算していけば規則性が見えてくるかもしれません。
お試し下さい。
(2)次の導関数を求めよ。
(a) y=(sinx)^cosx
(b) y=xtan^(-1)x-1/2log(1+x^2)
(c) y=log(x+√(x^2+1)
これらもMAXIMAにコマンドを打ち込めば一丁上がりでしょう。ご自分で試して
みてください。
なお、コマンドは
(a)
diff(sin(x)^cos(x),x);
(b)
diff(x*atan(x)-1/2*log(1+x^2),x);
(c)
diff(log(x+sqrt(x^2+1)),x);
です。
参考文献:
MAXIMA日本語マニュアル
MAXIMAの手引き
Maxima入門ノート
お便り２００６／６／１５
from=BossF
「微分はチンプンカンプン」では質問に答えようがないですね（何を使って何処から話し たらいいか分からないからです) 高次導関数が出てきてますから大学生と思いますが 高校の教科書などで、合成関数の微分などを確認なさるのが先決でしょう（或いはその 単位を諦めるか) 問題としては、きわめて基本的なものなんですよ。（だからどなたも、答えようがなかっ たんでしょうね)
お便り２００６／６／１７
from=ZELDA
(1)については、できませんでした。
(2)については、できましたので、回答させていただきます。
(a) 両辺の自然対数をとると
logy=(cosx)log(sinx)
各辺をxについて、微分すると
y'/y=-(sinx)log(sinx)+(cosx)^2/sinx
したがって、求める導関数は
y'=-(sinx)^(1+cosx)log(sinx)+(cosx)^2(sinx)^(cosx-1)
(b) y'=arctanx + x/(1+x^2) - (1/2)*2x/(1+x^2)
=arctanx
(c) y'=[1+{2x/2√(1+x^2)}]/{x+√(1+x^2)}
={x+√(1+x^2)}/[x+{√(1+x^2)}*{√(1+x^2)}]
=1/√(1+x^2)
お便り２００６／８／２９
from=maro
質問〈３２００〉の(1)y=e^sin^(-1)xの問題で
yをxで微分したy'＝exp(arcsin(x))/√(1－x^2)
までは自力で解けましたが、
y"＝exp(arcsin(x))/(1－x^2)＋x*exp(arcsin(x))/{(1－x^2)^(3/2)}
の特に分母についている3/2乗がどうしたらでてくるのか皆目見当がつきません。
詳しい解説をお願いしねがいします。
お便り２００６／８／３１
from=UnderBird
お便り２００６／９／２
from=maro
UnderBirdさんKINOさんありがとうございました。 (a)ですがなんとか解けたのですが、突詰めた結果が ０になってしまいました。 ですので(b)の問題は０をいくら微分しても０になってしまい解答にはなりません。 (1-x^2)y''-xy'-yを微分するにしても「ライプニッツの公式」を使うにしても ０からどうやって手をつけていいのかわかりません。 詳しく説明をお願いします。
お便り２００６／９／２
from=KINO
訂正です。
合成関数の微分をした結果出てくるものです。
y'={(1-x^2)^(-1/2)}*exp(arcsin(x))
を微分すると，
y''={(1-x^2)^(-1/2)}'*exp(arcsin(x))+{(1-x^2)^(-1/2)}*{exp(arcsin(x))}'
です。問題の箇所は {(1-x^2)^(-1/2)}' の部分だと思いますが，
これは u(w)=w^(-1/2)，w=1-x^2 と2つの関数の合成に分解すると，
(x^a)'=ax^(a-1) という基本的な関数の導関数の公式を用いることにより，
du/dw=(-1/2)u^(-1/2-1)=(-1/2)u^(-3/2), dw/dx=-2x
となるので，
{(1-x^2)^(-1/2)}'=du/dx=(du/dw)*(dw/dx)=(-1/2)*{u^(-3/2)}*(-2x)
=x*u^(-3/2)=x*(1-x^2)^(-3/2)
となります。
これが「分母についている3/2乗が」でてくる理由です。
なお，ついでながら，(1) (a) はちょっと違った方法で解くことができます。
まず，y'={(1-x^2)^(-1/2)}*y と表せることから，
{(1-x^2)^(1/2)}*y'=y となります。
この両辺を x で微分すると
-x*{(1-x^2)^(-1/2)}*y'+{(1-x^2)^(1/2)}*y''=y'={(1-x^2)^(-1/2)}*y
となるので，両辺に (1-x^2)^(1/2) をかけて整理すると，
(1-x^2)y''-xy'=y
が得られます。よって (1-x^2)y''-xy'-y=0.
(b) は関数の積に関する高階導関数の公式
{f(x)g(x)}^(n)
=f^(n)(x)g(x)+n*f^(n-1)(x)g'(x)+{n(n-1)/2}*f^(n-2)(x)g''(x)+...+f(x)g^(n)(x)
を利用して解きます。
この公式は「ライプニッツの公式」として教科書に載っていると思いますので
ご確認下さい。
y'' の係数の 1-x^2 は2次式なので，3階以上の導関数は 0 になります。
また，y' の係数 -x は2回以上微分すると 0 になります。
これらのことに注意してライプニッツの公式を適用すると，k≧2 に対し
{(1-x^2)y''}^(k)=(1-x^2)y^(k+2)-2kxy^(k+1)-k(k-1)y^(k),
(xy')^(k)=xy^(k+1)+ky^(k)
となりますので，(1-x^2)y''-xy'-y=0 の両辺を k 回微分することにより，
(1-x^2)y^(k+2)-(2k+1)xy^(k+1)-{k(k-1)x+k+1}y^(k)=0
を得ます。この等式は k=0, 1 のときにも成立することを容易に確かめることが
出来ます。
(c) y(0)=y'(0)=1 であり，y^(k+2)(0)=(k+1)y^(k)(0) であることから，k≧1 に対し
y^(2k+1)(0)=(2k)*y^(2k-1)(0)=...=(2k)(2k-2)(2k-4)*...*2*y'(0)
=(2k)(2k-2)(2k-4)*...*2
となります。
また，
y^(2k)(0)=(2k-1)y^(2k-2)(0)=...=(2k-1)(2k-3)*...*3*1*y(0)
=(2k-1)(2k-3)*...*3*1
となります。