質問＜３２０＞２０００／９／１３
from=2年10組12番
「三角関数ハイレベル問題」

角Ａ＝θ　角Ｃ＝90度の直角三角形ＡＢＣに一辺の長さが１の正三角形
ＰＱＲを内接させる。ただし、点Ｐ.Ｑ.Ｒはそれぞれ辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ
上にあるものとする。また、ΔＡＰＲ，ΔＢＱＰの外接円の中心をそれ
ぞれＯ1，Ｏ2とする。次の各問に答えよ。

(1)　Ｏ1Ｐ、Ｏ2Ｐの長さをそれぞれθを用いて表せ。
また、角Ｏ1ＰＯ2の大きさを求めよ。

(2)　Ｏ1Ｏ2の長さの最小値を求めよ。
また、そのときのθの値を求めよ。

(1）はまあ、分かったんですが、（正弦定理を使う）
(2)のΔＰＯ1Ｏ2に余弦定理を使うところまで分かったのですが、
そこから分からないんです。
(1)もあっていないかもしれないので、わかりやすい解説を宜しくお願いします。

お返事２０００／９／１４
from=武田

問１
正三角形△ＰＱＲの１辺ＰＲ＝ＲＱ＝ＰＱ＝１
補助線Ｏ1 ＲとＯ2 Ｑを引く。
円周角と中心角の関係より、
∠ＰＯ1 Ｒ＝２θ
∠ＰＯ2 Ｑ＝２∠Ｂ＝２（９０°－θ）
△ＰＯ1 Ｒにおいて、Ｏ1 Ｐ＝Ｏ1 Ｒ＝ｒ1 （半径）とすると、余弦定理より、
１2 ＝ｒ1 2 ＋ｒ1 2 －２ｒ1 ｒ1 cos２θ
ｒ1 2 （２－２cos２θ）＝１

　　　　　　　１　　　　　　　１
ｒ1 2 ＝───────＝─────────
　　　　２－２cos２θ　２（１－cos２θ）

　　　　　　１
　　　＝─────
　　　　４sin2 θ

　　　　１
ｒ1 ＝────　……①
　　　２sinθ

△ＰＯ2 Ｑにおいても、同様にして、

　　　　１
ｒ2 ＝────　……②
　　　２cosθ

∠Ｏ1 ＰＯ2 ＝∠Ｏ1 ＰＲ＋∠ＲＰＱ＋∠Ｏ2 ＰＱ
　　　　　　＝（９０°－θ）＋６０°＋θ＝１５０°……（答）

問２
△Ｏ1 ＰＯ2 において、Ｏ1 Ｏ2 ＝ｘとおくと、①②と余弦定理より、
　　　　　１　　　　　１　　　　　　１
ｘ2 ＝─────＋─────－──────・cos１５０°
　　　４sin2 θ　　４cos2 θ　２sinθcosθ

　　　cos2 θ＋sin2 θ　－√３／２
　　＝────────－──────
　　　４sin2 θcos2 θ　２sinθcosθ

　　　　１　　　　　√３
　　＝─────＋─────
　　　sin2 ２θ　　２sin２θ

　　　２＋√３sin２θ
　　＝────────
　　　　２sin2 ２θ


最小値を求めるために、ｘ2 ＝ｙとおき、微分する。
　　　√３cos２θ・２・２sin2 ２θ－（２＋√３sin２θ）４sin２θ・cos２θ・２
ｙ′＝────────────────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　４sin4 ２θ

　　　４√３sin2 ２θcos２θ－８√３sin2 ２θcos２θ－１６sin２θcos２θ
　　＝─────────────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　　　４sin4 ２θ

　　　－４√３sin2 ２θcos２θ－１６sin２θcos２θ
　　＝──────────────────────
　　　　　　　　　　４sin4 ２θ

　　　（－２√３sin２θ－８）sin４θ
　　＝───────────────
　　　　　　　４sin4 ２θ

ｙ′＝０と、角の範囲０°＜θ＜９０°より、
sin４θ＝０より、θ＝４５°
－２√３sin２θ－８＝０より、sin２θ＝－４／√３＜－１となり解なし
したがって、
θ＝４５°のとき、最小値は
ｙ＝ｘ2 

　　２＋√３sin２θ　　２＋√３・１　　２＋√３
　＝────────＝───────＝─────
　　　２sin2 ２θ　　　　２・１2 　　　　２

平方根をとると、
　　√（２＋√３）　√（４＋２√３）　√３＋１
ｘ＝───────＝────────＝────　……（答）
　　　　√２　　　　　　　２　　　　　　　２