質問＜３１９＞２０００／９／１３
北moriさんの質問の数列のところで 武田先生が使われた幻の0番法というやつですが あれは一体どういうものなのでしょう? 非常に興味深いので教えていただけないでしょうか お願いします
お返事２０００／９／１４
from=武田
これは、私がニュートンの補間法を見ていて、数列に使えないかなと思 い、考えついた方法です。数学セミナーリーディングス１９９０「新し い高校数学の展望」（日本評論社）Ｐ．１０７～Ｐ．１１１に掲載され ています。 ニュートンの「第ｎ階差が一定になるとき、もとの式はｎ次関数となる」 に着目し、容易にｎ次関数を求められる規則性はないかと考えて、初項 （第１項）の前にあるだろう幻の０番目（第０項）に注目したわけです。 例えば、ａn ＝ｎ2 ＋３ｎ＋５のとき、 ① ② ③ ④ …… ９ １５ ２３ ３３ …… Ｖ Ｖ Ｖ …… 第１階差 ６ ８ １０ …… Ｖ Ｖ …… 第２階差 ２ ２ …… 第２階差が一定となるので、もとの式は２次関数となる。 そこで、幻の０番目を考えてみると、 ０番目∥ ① ② ③ ④ …… ５∥ ９ １５ ２３ ３３ …… Ｖ∥ Ｖ Ｖ Ｖ …… ４∥ ６ ８ １０ …… Ｖ∥ Ｖ Ｖ …… ↑ ２∥ ２ ２ …… ここに注目 ２次関数ｙ＝ａｘ2 ＋ｂｘ＋ｃと、０番目の関係がどうな ればよいかと考えて、ｘ＝１，２，３，……と代入してみました。 ０番目∥ ① ② ③ ④ …… ｃ∥ａ＋ｂ＋ｃ ４ａ＋２ｂ＋ｃ ９ａ＋３ｂ＋ｃ １６ａ＋４ｂ＋ｃ …… Ｖ∥ Ｖ Ｖ Ｖ …… ａ＋ｂ∥ ３ａ＋ｂ ５ａ＋ｂ ７ａ＋ｂ …… Ｖ∥ Ｖ Ｖ …… ２ａ∥ ２ａ ２ａ …… そこで、２次関数のときの「幻の０番法」の公式が誕生したわけです。 ｛ ｃ＝５ ｛ａ＋ｂ＝４ ｛ ２ａ＝２ より、 ａ＝１，ｂ＝３，ｃ＝５ ｙ＝ｘ2 ＋３ｘ＋５となります。 したがって、ａn ＝ｎ2 ＋３ｎ＋５ ３次関数ｙ＝ａｘ3 ＋ｂｘ2 ＋ｃｘ＋ｄのときも同様にして、 公式をつくりました。この２つぐらいで良いようです。 ｛ ｄ＝ ｛ａ＋ｂ＋ｃ＝ ｛６ａ＋２ｂ＝ ｛ ６ａ＝