質問＜３１６１＞２００６／５／１２
from=けん
「等差数列の和」

初項a、公差dの等差数列の、初項から第m項までの和SmはSm＝n、また初項から第n項
までの和SnはSn＝mであるという。このとき、初項から第(m＋n)項までの和をm、nで
表せ。ただし、m≠nとする。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／１５
from=ZELDA

S(k)=(k/2){2a+(k-1)d}と定める。

条件 S(m)=n,S(n)=mを整理すると

d(m^2)+(2a-d)m-2n=0・・・・・・・（1)
d(n^2)+(2a-d)n-2m=0・・・・・・・（2)

(1)-(2)より　　　
d(m+n)(m-n)+(2a-d)(m-n)+2(m-n)=0
d(m+n)+2a-d+2=0      (∵m≠n)

Case1  d≠0のとき

m+n=(-2a+d-2)/dをS(k)に代入すれば、

∴  S(m+n)=(2a-d+2)/d

Case2　d=0のとき

(1)は           am=n・・・(3)
(2)は           an=m

各辺引いて　a(m-n)=-(m-n)
       ∴  a=-1    (∵m≠n)

このとき、(3)は、-m=nとなるが、この式はn,m∈N
であることに反する。ゆえにd≠0である。