質問＜３１３＞２０００／９／２
from=文系学生
「微分と分数の初歩的な計算」

武田先生、失礼します。
初歩的な数学の質問で恐縮なのですが、
　　P(X)＋[ｄP(X)／ｄX]・X
　＝P(X)・【1＋1／{[ｄX／ｄP(X)]・[P(X)／X]}】
という展開があるのですが、以下のような過程を経ていると
考えてよいのでしょうか？

　P(X)＋[ｄP(X)／ｄX]・X
＝P(X)・【1＋[ｄP(X)／ｄX]・[X／P(X)]】
＝P(X)・【1＋{1・[ｄP(X)／ｄX]・[X／P(X)]}】
＝P(X)・【1＋{1÷〔[ｄX／ｄP(X)]・[P(X)／X]〕}】
＝P(X)・【1＋{1／〔[ｄX／ｄP(X)]・[P(X)／X]〕}】

となるのでしょうか？
また、この場合、微分であるｄP(X)／ｄXを、
分数と同様に扱っているのでしょうか？

見にくくなってしまってすみません。

お返事２０００／９／３
from=武田

解答は良いと思います。
微分商ｄｙ／ｄｘの扱い方が、質問１４９と同様に疑問なのだと思います。

　ｄｘとｄｙには３つの観点がある。
１つ目は高校教科書などに掲載されている立場です。ｄｙ／ｄｘは１つ
の記号であり、分けることはできないということです。でもいつの間に
か分数のように分かれて使用されているので、理論体系を不透明にし、
応用上のギャップを生み出してしまっています。
これは１９世紀の古い発想が原因です。

２つ目は定積分の時に現れる微小変動量としてのｄｘです。
　　　　　　　　　　　　b
ｌｉｍΣｆ（ｘ）⊿ｘ＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ
⊿ｘ→０　　　　　　　　a
⊿ｘと比べて微小な変動量としてのｄｘという見方です。

３つ目は２０世紀になって出てきた新しい発想の「微分を局所一次近似
ととらえる」考え方です。

　上の図のように点Ａを中心とした局所座標（横軸がｄｘ、縦軸がｄｙ）
をとり、ｙ＝ｆ（ｘ）の微分として、ｄｙ＝ｆ′（ｘ）・ｄｘをとる観点
です。これはｆ′（ｘ）を微分係数というのにピッタリの言葉ですし、
ｄｙ／ｄｘが分数ということにも違和感が無くなると思います。