質問＜３１４＞２０００／９／２
from=北 mori
「数列&座標」

①
Oを原点とする座標平面上の第一象限に点A,
y軸の正の部分に点B.第二象限に点Cを、
四角形OABCが円に内接する面積9√3の四角形で
OA=OC, AB:BC=2:1, ∠AOC=60°を満たすようにとる
このときA,B,Cの座標を求めよ

②
a1=2+2√2,an+1=an+2√(an+n) (n=1,2....)を満たす
数列{an}で、an>1000となる最小のnを求めよ。
必要であればa.b>0のとき
√(a+b+2√ab)=√a+√bを使っても良い

お返事２０００／９／３
from=武田

問１

内接する□ＯＡＢＣの対角の和は１８０°より、
∠ＡＢＣ＝１８０°－∠ＡＯＣ＝１８０°－６０°＝１２０°
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ：ＢＣ＝２：１より、ＢＣ＝ｋとおくと、
ＡＢ＝２ｋ、また余弦定理より、
ＡＣ2 ＝ｋ2 ＋４ｋ2 －２・ｋ・２ｋcos１２０°
　　　＝５ｋ2 －４ｋ2 ・（－１／２）
　　　＝７ｋ2 
ＡＣ＞０より、ＡＣ＝ｋ√７
△ＯＡＣはＡＯ＝ＣＯ、∠ＡＯＣ＝６０°より、正三角形なので、
ＡＯ＝ＣＯ＝ＡＣ＝ｋ√７
□ＯＡＢＣの面積は９√３より、
９√３＝（１／２）ｋ・２ｋsin１２０°＋（１／２）（ｋ√７）2 sin６０°

　　　　　　　√３　１　　　　　√３
　　　＝ｋ2 ・──＋─・７ｋ2 ・──
　　　　　　　　２　２　　　　　　２

　　　　９√３
　　　＝───・ｋ2 
　　　　　４

ｋ2 ＝４
ｋ＞０より、∴ｋ＝２

ＢＣ＝２、ＡＢ＝４、ＡＯ＝ＣＯ＝ＡＣ＝２√７より、

弧ＡＢ上の円周角は等しいから
∠ＡＯＢ＝∠ＡＣＢ＝θとおくと、
△ＡＢＣにおいて、余弦定理より、
１６＝４＋２８－２・２・２√７cosθ

　　　　　１６　　２√７
cosθ＝────＝────
　　　　８√７　　　７

０＜θ＜６０°より、sinθ＞０
　　　　　　　　　２√７
sinθ＝√｛１－（────）2 ｝
　　　　　　　　　　７

　　　√（４９－２８）
　　＝────────
　　　　　　７

　　　√２１
　　＝────
　　　　７

△ＯＡＨにおいて、
点Ａの座標を（ｘ、ｙ）とすると、
ｘ＝ＡＨ＝ＯＡsinθ

　　　　　　√２１
　＝２√７・───＝２√３
　　　　　　　７

　　　　　　　　　　　　　　　２√７
ｙ＝ＯＨ＝ＯＡcosθ＝２√７・────＝４
　　　　　　　　　　　　　　　　７
したがって、点Ａ（２√３，４）……（答）

同様にして、点Ｃ（－√３，５）……（答）

点Ｂ（０，ｂ）とおくと、
ＢＣ＝√｛（－√３）2 ＋（５－ｂ）2 ｝
２＝√（ｂ2 －１０ｂ＋２８）
２乗して、
４＝ｂ2 －１０ｂ＋２８
ｂ2 －１０ｂ＋２４＝０
（ｂ－４）（ｂ－６）＝０
ｂ＞５より、
∴ｂ＝６
点Ｂ（０，６）……（答）

※ちょっと大変でした！

問２
ａ1 ＝２＋２√２
ａn+1＝ａn ＋２√（ａn ＋ｎ）
ｎ＝１のとき、ａ2 ＝ａ1 ＋２√（ａ1 ＋１）
　　　　　　　　　＝２＋２√２＋２√（２＋２√２＋１）
　　　　　　　　　＝２＋２√２＋２√（３＋２√２）
　　　　　　　　　＝２＋２√２＋２（√２＋１）
　　　　　　　　　＝４＋４√２
ｎ＝２のとき、ａ3 ＝ａ2 ＋２√（ａ2 ＋２）
　　　　　　　　　＝４＋４√２＋２√（４＋４√２＋２）
　　　　　　　　　＝４＋４√２＋２√（６＋２√８）
　　　　　　　　　＝４＋４√２＋２（２＋√２）
　　　　　　　　　＝８＋６√２
ｎ＝３のとき、ａ4 ＝ａ3 ＋２√（ａ3 ＋３）
　　　　　　　　　＝８＋６√２＋２√（８＋６√２＋３）
　　　　　　　　　＝８＋６√２＋２√（１１＋２√１８）
　　　　　　　　　＝８＋６√２＋２（３＋√２）
　　　　　　　　　＝１４＋８√２
この数列を並べて、
　　　　　①　　　　　②　　　　　③　　　　　④　　　　　　……
　　　　　２＋２√２　４＋４√２　８＋６√２　１４＋８√２　……
幻の０番法より、
　　　＼　①　　　　　②　　　　　③　　　　　④　　　　　　……
　２　　＼２＋２√２　４＋４√２　８＋６√２　１４＋８√２　……
　　　Ｖ　＼　　　　Ｖ　　　　　Ｖ　　　　　Ｖ
　　２√２　＼　２＋２√２　４＋２√２　６＋２√２　……
　　　　　Ｖ　＼　　　　　Ｖ　　　　　Ｖ
　　　　　２　　＼　　　　２　　　　　２　　　　　……
したがって、
｛ｃ＝２
｛ａ＋ｂ＝２√２
｛２ａ＝２
ａ＝１、ｂ＝２√２－１、ｃ＝２
この数列の一般項は
ａn ＝ｎ2 ＋（２√２－１）ｎ＋２
ａn ＞１０００となる最小のｎを求めると、
ｎ2 ＋（２√２－１）ｎ＋２＞１０００
ｎ2 ＋（２√２－１）ｎ－９９８＞０となる最小のｎを
求めるために、
ｎ2 ＋（２√２－１）ｎ－９９８＝０を計算すると、

　　－（２√２－１）±√｛（２√２－１）2 －４（－９９８）｝
ｎ＝────────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　２
これを小数化するのは大変である。電卓でやると、
ｎ＞０より、
ｎ＝３０．６９０……
∴最小のｎ＝３１……（答）