質問＜３１２１＞２００６／４／２４
from=みー
「極限値」

次の問題を教えてください
lim［ｘ→０］（１＋３ｘ）＾１／ｘ

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２４
from=wakky

lim(x→0)(1+x)^(1/x)=eを利用します

lim(x→0)(1+3x)^(1/x)
=lim(x→0){(1+3x)^(1/(3x))}^3
x→0のとき3x→0だから
lim(x→0){(1+3x)^(1/(3x))}^3=e^3・・・（答）

お便り２００６／４／２５
from=S（社会人）

こんにちは。

（ 答案 ）
いま、　
ｅ＝ｌｉｍ_[n→∞]｛１＋（１／ｎ）｝^n
　＝ｌｉｍ_[t→0]（１＋ｔ）^(1/t)
となることが知られている。

したがって、
lim［ｘ→０］（１＋３ｘ）＾１／ｘ
＝ｌｉｍ_[x→0][｛１＋（３ｘ）｝^{1/(3x)}]^3
＝ｌｉｍ_[u→0]｛（１＋ｕ）^(1/u)｝^3　
（ ｕ＝３ｘ、ｘ→０　で　ｕ→０ ）
＝ｅ^3　…　（ 答 ）

※ 敷衍すれば、　
ｌｉｍ_[x→0]（１＋ａｘ）^(1/x)＝ｅ^a　（ ａ＞０ ）　ですね。