質問＜３１１９＞２００６／４／２４
from=mina
「２次関数」

２次関数y＝x^-2ax-a+2がある。ただしaは正の定数である。
(１)このグラフが、x軸と異なる2点で交わるとき、aの値の範囲を求めよ。
(２)(１)のとき、x軸との交点をABとする。
　　(ア)ABをaで表せ。
　　(イ)AB=2のとき、aの値を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２７
from=ZELDA

(1)判別式より
(-a)^2-(-a+2)=(a+2)(a-1)＞0
したがって、a＞1またはa＜-2

(2)
(ア)x^2-2ax-a+2=0の解は
　　x=a±√(a^2+a-2)
であるから、
　　AB=a+√(a^2+a-2)-[a-√(a^2+a-2)
      =2√(a^2+a-2)

(イ)2=2√(a^2+a-2)
    a^2+a-2=1
したがって、a=[-1±√(13)]/2

お便り２００６／４／２８
from=wakky

（１）

二次方程式　ｘ^2－２ａｘ－ａ＋２＝０・・・①
曲線（放物線）ｙ＝ｘ^2－２ａｘ－ａ＋２が
ｘ軸と異なる２点で交わるから
①が異なる２つの実数解を持つ
①の判別式をＤとすると
Ｄ／４＝ａ^2－（－ａ＋２）
　　　＝ａ^2＋ａ－２＞０
（ａ＋２）（ａ－１）＞０，　ａ＜－２，ａ＞１
ａは正だから　ａ＞１・・・（答）

（２）

（ア）のその１
①と解くと
ｘ＝ａ±√（ａ^2＋ａ－２）
　＝ａ±（√Ｄ）／２
よって
ＡＢ＝｛ａ＋（√Ｄ）／２｝－｛ａ－（√Ｄ）／２｝
　　＝√Ｄ＝２√（ａ^2＋ａ－２）・・・（答）

（ア）のその２
①の異なる２つの実数解をα，βとすると
解と係数の関係から
α＋β＝２ａ，αβ＝－ａ＋２
ＡＢ＝｜α－β｜であり
｜α－β｜^2＝（α－β）^2
　　　　　＝（α＋β）^2－４αβ
　　　　　＝４ａ^2－４（－ａ＋２）
　　　　　＝４ａ^2＋４ａ－８
よって
ＡＢ＝｜α－β｜＝２√（ａ^2＋ａ－２）・・・（答）

（イ）
（ア）より　２√（ａ^2＋ａ－２）＝２
ａ^2＋ａ－２＝１
ａ^2＋ａ－３＝０
ａ＞０を考慮して
ａ＝（－１＋√１３）／２・・・（答）