質問＜３１０７＞２００６／４／１９
from=さえ
「極限の計算」

(1)lim[x→0](e^x-1)/xを計算せよ
(2)lim[x→0](1-x^2)^1/x

過去の投稿を見ると同じ問題もあったのですが、
いまいち理解できません。
(1)はe^x-1＝tとおくやり方で、
(2)は()内を因数分解するやり方で、
できれば詳しく解説していただけると嬉しいです；

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２１
from=S（社会人）

(1)lim[x→0](e^x-1)/x　だけですが…

（ 答案 ）
（イ） いま、　ａ[ｎ]＝｛１＋（１／ｎ）｝^n　（ n＝１，２，… ）　なる
数列　｛ａ[ｎ]｝　は収束することが判っていて、その極限値をもって　ｅ　なる数
と定義される。
これは、　ｌｉｍ_{k→0}（１＋ｋ）^(1/k)＝ｅ　と書き替えることが出来る。

（ロ） 次に、　０＜ａ≠１　のとき、
（ｌｏｇ_[a]ｘ）’＝ｌｉｍ_{h→0}（１／ｈ）｛ｌｏｇ（ｘ＋ｈ）－ｌｏｇ（ｘ）｝
＝ｌｉｍ_{h→0}（１／ｈ）ｌｏｇ_[a]｛１＋（ｈ／ｘ）｝
＝ｌｉｍ_{h→0}（１／ｘ）（ｘ／ｈ）ｌｏｇ_[a]｛１＋（ｈ／ｘ）｝
＝（１／ｘ）ｌｉｍ_{k→0}ｌｏｇ_[a]｛１＋ｋ）^(1/k)　
　　（ ｋ＝ｈ／ｘ、ｈ→０　のとき　ｋ→０ ）
＝（１／ｘ）ｌｏｇ_[a]ｅ
＝１／ｘ　（ ａ＝ｅ　のとき ）

（ハ） 一方、　ｙ＝ｅ^x　は　ｌｏｇ_[e]（ｙ）＝ｘ　で微分すると，　
（１／ｙ）ｙ´＝１　から　ｙ´＝ｙ＝ｅ^x
すなわち、　（ｅ^x）´＝ｅ^x

（ニ） したがって、　＞ lim[x→0](e^x-1)/x
＝ｌｉｍ_{h→0}（１／ｈ）｛ｆ（０＋ｈ）－ｆ（０）｝　
　　（ ｈ＝ｘ、ｆ（ｘ）＝ｅ^x ）
＝ｆ´（０）
＝１　（ ｆ´（ｘ）＝ｅ^x ）　…　（ 答 ）

お便り２００６／４／２１
from=S（社会人）

良く指示を読んでいませんでしたので、改めて…

＞ (1)lim[x→0](e^x-1)/x　はe^x-1＝tとおくやり方で…

（ 答案 ）
ｅ^x－１＝ｔ　とおくと　ｘ→０　のとき　ｔ→０
また、　ｅ^x＝ｔ＋１　から　ｘ＝ｌｏｇ_[e]（ｔ＋１）
したがって、
与式＝ｌｉｍ_[t→0]ｔ／｛ｌｏｇ_[e]（ｔ＋１）｝
＝ｌｉｍ_[t→0]１／｛ｌｏｇ_[e]（１＋ｔ）^(1/t)｝
＝１／ｌｏｇ_[e]ｅ　（ 前　res　定義参照 ）
＝１　…　（ 答 ）

※ 御指示どおりの方が簡単に答が出ますね。

お便り２００６／４／２１
from=S（社会人）

いま、　(2)lim[x→0](1-x^2)^1/x　も解りました。

与式＝ｌｉｍ_[x→0]｛（１＋ｘ）（１－ｘ）｝^(1/x)
＝ｌｉｍ_[x→0]｛（１＋ｘ）^(1/x)｝｛（１－ｘ）^(1/x)｝　
（ １＋ｘ＞０、１－ｘ＞０ ）　…　［１］
ここで、　ｔ＝－ｘ　とおくと　ｘ→０　のとき　ｔ→０　であるから
［１］＝ｌｉｍ_[x→0,t→0]｛（１＋ｘ）^(1/x)｝／｛（１＋ｔ）^(1/t)｝
＝ｅ／ｅ
＝１　…　（ 答 ）