質問＜３１０＞２０００／８／２９
from=完熟トマト
「二等分線の証明」

三角形ＡＢＣにおいて、∠Ａの二等分線と辺ＢＣの交点をＤ、∠Ａの外角
の二等分線が辺ＢＣの延長と交わる点をＭとするとき、次の等式が成り立
つことを証明せよ。

　ＡＢ／ＡＣ＝ＢＤ／ＣＤ＝ＢＭ／ＣＭ

よろしくお願いします。

お返事２０００／８／２９
from=武田

この問題は質問１２９の（５）にでてくる「アポロニウスの円」関連の
問題です。そのときの関谷さんのアドバイスが参考になった。

頂点Ｂを通り、辺ＡＣに平行な直線（補助線）をひき、ＡＭとＡＤそれ
ぞれの延長線との交点をＦ、Ｇとする。
∠ＧＡＦ＝∠ＧＡＭ＝∠ＢＡＣ／２＋∠ＣＡＴ／２
　　　　＝∠ＢＡＴ／２＝１８０°／２＝９０°

△ＭＡＣと△ＭＦＢにおいて
ＣＡ／／ＢＦより、△ＭＡＣ∽△ＭＦＢ
ＡＣ：ＦＢ＝ＣＭ：ＢＭ……①

△ＤＣＡと△ＤＢＧにおいて
ＣＡ／／ＢＧより、△ＤＣＡ∽△ＤＢＧ
ＡＣ：ＢＧ＝ＣＤ：ＢＤ……②

ＡＧは∠ＢＡＣの二等分線だから、∠ＢＡＧ＝∠ＣＡＧ
ＡＣ／／ＢＧより、∠ＣＡＧ＝∠ＡＧＢ
したがって、∠ＢＡＧ＝∠ＡＧＢ
△ＢＧＡは底角が等しいから、二等辺三角形
∴ＡＢ＝ＢＧ……③

∠ＧＡＦ＝９０°より、∠ＢＦＡ＝∠ＢＡＦ
△ＢＦＡも二等辺三角形となる。
∴ＡＢ＝ＦＢ……④

①②③④より、
ＣＭ：ＢＭ＝ＡＣ：ＦＢ←①より
　　　　　＝ＡＣ：ＡＢ←④より
　　　　　＝ＡＣ：ＢＧ←③より
　　　　　＝ＣＤ：ＢＤ←②より
したがって、
ＣＭ：ＢＭ＝ＡＣ：ＡＢ＝ＣＤ：ＢＤ

ＢＭ　ＡＢ　ＢＤ
──＝──＝──　……（答）
ＣＭ　ＡＣ　ＣＤ