質問＜３０９７＞２００６／４／１６
from=mic
「cosAの最小値」

次の問題を教えてください。
△ABCの３辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとし,
2a^2=3bcをみたすものとする。このときcoaAの最小値を求めると□である。
また、cosAが最小値をとるとき,
a:b:c=□:□:1となり,さらに△ABCの面積は□c^2となる。
□に当てはまる数字を入れよという問題です。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／１７
from=wakky

余弦定理と　2a^2=3bc　から
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
    ={(b^2+c^2)/(2bc)}-3/4・・・①
cosAが最小となるのは(b^2+c^2)/(2bc)が最小となるとき
b^2+c^2≧2bc　(∵(b-c)^2≧0)
したがって
(b^2+c^2)/(2bc)≧1
よって
cosA≧1-(3/4)≧1/4
cosAの最小値は1/4・・・（答）
このとき①より
{(b^2+c^2)/(2bc)}-3/4=1/4　だから
(b^2+c^2)/(2bc)=1
(b-c)^2=0
∴b=c　すなわち　b:c=1:1
2a^2=3bcだから
√2a=√3bより　a:b=((√6)/2):1
したがって
a:b:c=(√6)/2 : 1 : 1　・・・（答）
0°≦A≦180°だから
cosA=1/4のときsinA=(√15)/4
△ABC=(1/2)bcsinA=(1/2)c^2*((√15)/4)
     =(√15)/8*c^2・・・（答）

お便り２００６／４／１７
from=mic

いつもありがとうございます。
この問題自力で解く事が出来ました、お手数おかけしました。