質問

連続４整数の積ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）が
２４の倍数であることを示せ。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／１６
from=wakky

連続する４つの整数の積は２４の倍数であることを示すには、
まず、連続する４つの整数のうち、どれかが０なら積は０となって
２４の０倍です。
どれも０でない場合は
まず、連続する３つの整数の積は６の倍数になります。
なぜなら、少なくとも１つの偶数があり、少なくとも１つの３の倍数があるからです。
（証明は３の剰余類を利用して容易にできます。）
また、連続する４つの整数の中には、かならず４の倍数が１つ含まれます。
だから、４の倍数×６の倍数が因数として含まれるので
２４の倍数であるということです。
以上は、感覚的に理解できると思います。
もし、対象が「整数」ではなく「自然数」ならば
数学的帰納法で簡単に証明できます。
この場合、３連続自然数の積が６の倍数であることを利用します。
対象が「整数」で、正面から計算で証明するならば
４の剰余類で場合分け
ｎ＝４ｍ，４ｍ＋１，４ｍ＋２，４ｍ＋３
などとして、ｍが偶数の場合と奇数の場合で考えるとできると思います。
実際に解いてないので、やってみてください。

お便り２００６／４／１６
from=UnderBird

連続４整数の積ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）が
２４の倍数であることを示せ。
よろしくお願いします。

n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+1)(n+2){(n-1)+4}
                =(n-1)n(n+1)(n+2)+4n(n+1)(n+2)

4連続の整数の中には必ず４の倍数があり、4の倍数でない２の倍数があり、
また３の倍数があるので第１項ｈば２４の倍数。
また、3連続整数の積は同様に６の倍数より第２項も２４の倍数
よって、その和も２４の倍数。

または、数学的帰納法による証明なども考えられそうです。