質問＜３０６６＞２００６／４／５
from=ガイル
「階乗の不等式」

1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・+1/n!＜２を証明せよ
って問題なんですがどう取り組んでよいのかわかりません
どなたか解答をおねがいします

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／６
from=wakky

マクローリン展開から
e^x=1+x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+・・・・
x=1のとき
1+1+(1/2!)+(1/3!)+・・・・・・=e
よって
1+(1/2!)+(1/3!)+・・・・・・=e-1
1+(1/2!)+(1/3!)+・・+(1/n!)<1+(1/2!)+(1/3!)+・・・
=e-1＜2
(∵e=2.718・・・・・)

お便り２００６／４／７
from=ZELDA

1/1!+1/2!+1/3!+・・・+1/n!

＜1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+・・・・+(1/2)^[n-1]
初項が1で公比1/2の等比数列の和

＜lim[n→∞]∑[k=1,n](1/2)^[n-1]
初項が1で公比1/2の無限等比数列の和

＝2

となり、題意は示された。

お便り２００６／４／７
from=S（社会人）

こんにちは。

（ 答案 ）
いま、
１／ｋ！＝（１／１）*（１／２）*（１／３）*…*（１／ｋ）
＜（１／１）*（１／２）*（１／２）*…*（１／２）
＝１／２＾（ｋ－１）
このとき、
与式左辺＝（１／１！）＋（１／２！）＋（１／３！）＋…＋（１／ｎ！）
＜１＋（１／２＾１）＋（１／２＾２）＋（１／２＾３）＋…＋｛１／２＾（ｎ－１）｝
＝１＋[１－｛１／２＾（ｎ－１）｝]
＜２

のようにして見ました。