質問＜３０３１＞２００６／３／１６
from=すん
「不等式」

a,b,cはab+bc+ca=9を満たす正の実数のとき、
不等式a+b+c≧abcが成り立つことを示せ.
また、等号成立はどんなときか

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／１８
from=angel

1.
(a+b+c)^2
=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
=1/2・( (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ) + 3(ab+bc+ca)
≧ 3(ab+bc+ca)

よって、
a+b+c≧√( 3(ab+bc+ca) )　a=b=cが等号成立

2. 相加相乗平均の関係より
(ab+bc+ca)/3≧(ab・bc・ca)^(1/3)　ab=bc=caが等号成立

両辺を3/2乗すると
( (ab+bc+ca)/3 )^(3/2)≧abc

ab+bc+ca=9 のため、1,2それぞれより
　a+b+c≧3√3≧abc
a=b=cの時のみ、両方の等号が同時に成立する。
そのとき、a=b=c=√3

お便り２００６／３／１８
from=wakky

ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝９とａ＋ｂ＞０より
ｃ＝（９－ａｂ）／（ａ＋ｂ）
ａ＋ｂ＋ｃ－ａｂｃ
＝ａ＋ｂ＋（９－ａｂ）／（ａ＋ｂ）－ａｂ・（９－ａｂ）／（ａ＋ｂ）
＝｛１／（ａ＋ｂ）｝（ａ^2＋ｂ^2－８ａｂ＋ａ^2ｂ^2＋９）
＝｛１／（ａ＋ｂ）｝｛（ａ－ｂ）^2＋（ａｂ－３）^2｝
≧０
等号が成り立つのは
ａ＝ｂかつａｂ＝３のときだから
ａ＝ｂ＝√３
このときｃ＝√３
よって
等号はａ＝ｂ＝ｃ＝√３のときに成り立つ。