質問＜２９８４＞２００６／２／２５
from=けい
「微分の問題」

放物線y＝ｘ^2に接する２本の接線が点(１､ｔ)を通る。
２本の接線が直交するときのｔの値を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／２６
from=angel

y=x^2 の導関数 y'=2x より、
x=a における y=x^2 の接線は、
　y=2a(x-a)+a^2 すなわち y=2ax-a^2
同様に、x=b (a＜b) における接線は、
　y=2bx-b^2

この2接線が点(1,t)を通る時、
　t=2a-a^2　…(1)
　t=2b-b^2　…(2)

(1),(2)辺々引いて
　2a-a^2=2b-b^2
　0=(a-b)(a+b-2)
　a+b=2　(∵a≠b)

また、2接線が垂直な時、傾きの積が -1、よって
　4ab=-1
　ab=-1/4

(1),(2)辺々足して
　2t=2(a+b)-(a^2+b^2)
　　=2(a+b)-(a+b)^2+2ab
　　=2・2-2^2+2・(-1/4)
　　=-1/2
よって、t=-1/4 …(答え)
この条件を満たす a,b は、方程式 p^2-2p-1/4=0 の2解、
(a,b)=(1-√5/2, 1+√5/2) が存在する。