質問＜２９７５＞２００６／２／２０
from=ゆうか♪
「集合＆単射の問題」

①集合A,B,Cに関し,次の性質が成り立つことを示せ。
　　　　(分配法則を用いてよい.)
　○C⊂A⇔A∩(B∪C)=(A∩B)∪C
　　C⊂A⇒A∩(B∪C)=(A∩B)∪Cは証明できるのですが
　　C⊂A←A∩(B∪C)=(A∩B)∪Cがわかりません…
　　　
②写像f：R~2→R^2,ｆ(x,y)=(ax+by,cx+dy)が全単射と
　なる為の必要十分条件を求めよ。（a,b,c,d∈R）
　という問題の単射の必要十分条件がわかりません…
　
　どなたか詳しく教えていただけないでしょうか…
　お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／２６
from=angel

1.
一応、両方向いきます。

(a)→について証明
まず、任意のA,Cに対して A⊂A∪C が成立するため、
　A⊂A∪C
　⇒ A∩(B∪C)⊂(A∪C)∩(B∪C)
　⇔ A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪C
も成立する。

今、C⊂A が成立する時、
　C⊂A
　⇒ C∩C⊂A∩C
　⇔ C⊂A∩C
　⇒ (A∩B)∪C⊂(A∩B)∪(A∩C)
　⇔ (A∩B)∪C⊂A∩(B∪C)

よって、
　C⊂A
　⇒ (A∩B)∪C⊂A∩(B∪C)
　⇔ (A∩B)∪C⊂A∩(B∪C) かつ A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪C
　⇔ (A∩B)∪C = A∩(B∪C)

(b)←について証明
　(A∩B)∪C = A∩(B∪C)
　⇒ (A∩B)∪C = A∩(B∪C) かつ (A∩B)∪C⊂A かつ C⊂A∩(B∪C)
　⇔ C⊂A∩(B∪C)=(A∩B)∪C⊂A
　⇒ C⊂A

(a),(b)より、C⊂A ⇔ (A∩B)∪C = A∩(B∪C)

※今回は、次のような法則を使っています。
　X∩(Y∪Z)=(X∩Y)∪(X∩Z)
　(X∩Y)∪Z=(X∪Z)∩(Y∪Z)
　X⊂X∪Y
　X∩X=X
　X⊂Y ⇒ X∩Z⊂Y∩Z
　X⊂Y ⇒ X∪Z⊂Y∪Z
　X=Y ⇔ X⊂Y かつ Y⊂X
　X=Y∩Z ⇒ X⊂Y∩Z ⇒X⊂Y
　X∪Y=Z ⇒ X∪Y⊂Z ⇒X⊂Z
　X⊂Y⊂Z ⇒ X⊂Z

2.
表現行列(2次正方行列)
　(a b)
　(c d)
による一次変換そのものです。
　全単射⇔逆変換が存在⇔逆行列が存在
すなわち、ad-bc≠0 が必要十分