質問＜２９６６＞２００６／２／１９
from=Ｎ・Ｆ
「ベクトルの内積」

『ベクトル→α→βの大きさはそれぞれ１でこの二つのなす角が６０度である
　とき、二つのベクトル→α→β、－→α→2βのなす角を求めよ』

お願いします

★希望★完全解答★

お返事２００６／２／１９
from=武田

問題は以下で良いですか？

　　　　　→　→
『ベクトルαとβの大きさは、それぞれ１で、この２つのなす角が６０度である
　　　　　　　　　　　→　→　　→　　→
　とき、二つのベクトルα＋β、－α＋２βのなす角を求めよ』

お便り２００６／２／２１
from=Ｎ・Ｆ

はい、そうです。
よろしくお願いしたします。

お返事２００６／２／２２
from=武田

　　　　→　→
ベクトルαとβの矢印は省略します。

内積α・β＝１×１×cos６０°＝１／２

｜α＋β｜^2＝（α＋β）・（α＋β）
　　　　　　＝｜α｜^2＋２α・β＋｜β｜^2
　　　　　　＝１＋２×（１／２）＋１
　　　　　　＝１＋１＋１
　　　　　　＝３
∴｜α＋β｜＝√３

｜－α＋２β｜^2＝（－α＋２β）・（－α＋２β）
　　　　　　　　＝｜α｜^2－４α・β＋４｜β｜^2
　　　　　　　　＝１－４×（１／２）＋４×１
　　　　　　　　＝１－２＋４
　　　　　　　　＝３
∴｜－α＋２β｜＝√３

内積（α＋β）・（－α＋２β）＝－｜α｜^2＋α・β＋２｜β｜^2
　　　　　　　　　　　　　　　＝－１＋（１／２）＋２
　　　　　　　　　　　　　　　＝３／２

一方
内積（α＋β）・（－α＋２β）＝｜α＋β｜×｜－α＋２β｜×cosθ
　　　　　　　　　　　　　　　＝√３×√３×cosθ
　　　　　　　　　　　　　　　＝３×cosθ

したがって、
３／２＝３cosθ
cosθ＝１／２
∴θ＝６０°……（答）