質問＜２９６２＞２００６／２／１６
from=ピチョンくん
「証明」

①凸四角形ABCDが　AB=BC=CD=DA　をみたしている。
　このとき、対角線は垂直に交わることを証明しなさい。

②∠B=１２°、∠C＝１３２°である。
　三角形ABCの頂点B,Cにおける外角の２等分線が対辺の延長と交わる点を
　それぞれP,Qとする。このとき、BPとCQの関係を答え、証明しなさい。

以上の２問ですが、全く分からないので出来るだけ詳しい回答をお願いします。
２／１９までにお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／２０
from=／で

1) 三角形の合同を繰り返し言えばよいと思います。
2) (わりと正確な)図を書いて、角度を書き入れていくと見えると思います。
　 底角の等しい三角形がちらほらと。

1)△ＡＢＣと△ＡＤＣにおいて、
　　　ＡＢ＝ＡＤ
　　　ＢＣ＝ＤＣ
　　　ＡＣは共通
　よって三辺相等より、△ＡＢＣ≡△ＡＤＣ
　また、これらはＡＢ＝ＢＣ、ＡＤ＝ＣＤの二等辺三角形であるので
　ゆえに、∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ
　
　次に、△ＡＢＣと△ＣＢＤにおいて、同様にして
　∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ
　が言える。

　すると、対角線で分けられた４つの三角形の合同が言え、
　よって対角線が直交していることが言える。

（ＡＣとＢＤの交点をＰとすると、二角挟辺相等より
　△ＡＢＰ≡△ＡＤＰ≡△ＣＢＰ≡△ＣＤＰ
　よって、∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＤ＝∠ＣＰＢ＝∠ＣＰＤ
　ここで、∠ＡＰＢ＋∠ＡＰＤ＋∠ＣＰＢ＋∠ＣＰＤ＝３６０度であるから、
　ゆえに、∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＤ＝∠ＣＰＢ＝∠ＣＰＤ＝９０度）

2)



∠ＡＣＢの外角は４８度なので、∠ＡＣＱ＝２４度
　また、∠Ａ（＝∠ＢＡＣ）＝３６度ですから、
　△ＡＣＱにおいて、∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＱ＋∠ＣＱＡより、
　∠ＣＱＡ＝１２度
　よって、△ＣＢＱにおいて、∠ＣＢＱ＝∠ＣＱＢ＝１２度と
　底角が等しいので、ＣＢ＝ＣＱ　…………（１）

　つぎに、∠Ｂ（＝∠ＡＢＣ）の外角は１６８度なので、∠ＰＢＣ＝８４度
　また、∠ＢＣＰ＝４８度ですから、∠ＢＰＣ＝１８０－８４－４８＝４８度
　よって、△ＢＰＣにおいて、∠ＢＣＰ＝∠ＢＣＰ＝４８度と
　底角が等しいので、ＢＣ＝ＢＰ　…………（２）

　（１）、（２）より、ＢＰ＝ＣＱ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（終り）