質問＜２８４０＞２００６／１／１１
from=ゆう
「極限」

lim(x→0)(1+x+x^2)^1/xが求められません。
どのように解けばよいのでしょうか。
お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／１２
from=UnderBird

数学Ⅲで微分が終わっているなら・・・

(1+x+x^2)^(1/x)の対数をとって考えましょう。(底は自然対数e)

log{(1+x+x^2)^(1/x)}={log(1+x+x^2)}/xであり、
ここで、lim(x→0){log(1+x+x^2)}/x　は
関数log(1+x+x^2)のx=0における微分係数を定義に従って求める式に他ならない。
よって、{log(1+x+x^2)}’=(1+2x)/(1+x+x^2)より
x=0における微分係数は1
よって、元の極限値はe

また、ロピタルの定理でも同様の計算となります。

これを定義に従って求めるのは、自然対数eの公式を利用して解くのでしょうが・・・。

お便り２００６／１／１２
from=juin

(1+x+x^2)^(1/x)=(1+x+x^2)^{(1/(x+x^2))(x+x^2)/x}
=(1+x+x^2)^{(1/(x+x^2))(1+x)}->e as x->0

お便り２００６／１／１２
from=wakky

x→0なので、x≠1と考えていいですね。
したがって
1+x+x^2=(1-x^3)/(1-x)
よって
(1+x+x^2)^(1/x)=(1-x)^(-1/x)・(1-x^3)^(1/x)
={1+(-x)}^(-1/x)・[{1+(-x^3)}^(-1/x^3)]^(-x^2)
→e・e^(-x^2)→e・1=e　(x→0）