質問＜２８２５＞２００６／１／７
from=ケン
「積分」

積分の問題で
（１）∫4／(x^3＋4x)dx
（２）∫2x－5／(3x^2+4)dx
という問題に苦しんでいます。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お返事２００６／１／７
from=武田

（１）
部分分数分解で解くと、
　　　４　　　　　　　　４
∫―――――ｄｘ＝∫―――――――ｄｘ
　ｘ^3＋４ｘ　　　　ｘ（ｘ^2＋４）

　　　１　　　　ｘ　　　　　　　　　　　　　　１　　　２ｘ
＝∫｛―　－　――――　｝ｄｘ＝log｜ｘ｜－　――∫―――――ｄｘ
　　　ｘ　　　ｘ^2＋４　　　　　　　　　　　　２　　ｘ^2＋４

＝log｜ｘ｜－log√（ｘ^2＋４）＋Ｃ

　　　　　　　ｘ
＝log｜―――――――｜＋Ｃ……（答）
　　　　√（ｘ^2＋４）

（２）
　　２ｘ－５　　　　１　　　６ｘ　　　　　　　　　１
∫――――――ｄｘ＝―∫――――――ｄｘ－５∫――――――ｄｘ
　３ｘ^2＋４　　　　３　３ｘ^2＋４　　　　　　３ｘ^2＋４

　１　　　　　　　　　　　　　　１
＝―log｜３ｘ^2＋４｜－５∫――――――ｄｘ………（＊）
　３　　　　　　　　　　　　３ｘ^2＋４

　　　１
∫――――――ｄｘを解いてみよう。
　３ｘ^2＋４

ｘ＝（２／√３）tanθとおくと、
　　　　　　　　　　　　　　　　　４
３ｘ^2＋４＝４（tan^2θ＋１）＝――――
　　　　　　　　　　　　　　　　cos^2θ
　　　　　２
ｄｘ＝――――――ｄθ
　　　√３cos^2θ

　　　１　　　　　　　　　　１　　　　　　　２
∫――――――ｄｘ＝∫――――――　・　―――――ｄθ
　３ｘ^2＋４　　　　　　　　４　　　　　√３co^2θ
　　　　　　　　　　　　―――――
　　　　　　　　　　　　　cos^2θ

　　　１　　　　　θ　　　　　１　　　　　√３ｘ
＝∫―――ｄθ＝―――＋Ｃ＝―――・tan^-1―――　＋Ｃ
　　２√３　　　２√３　　　２√３　　　　　２

（＊）にあてはめて、
１　　　　　　　　　　　５　　　　　　√３ｘ
―log｜３ｘ^2＋４｜－――――・tan^-1――――　＋Ｃ……（答）
３　　　　　　　　　　２√３　　　　　　２