質問＜２８１０＞２００６／１／４
△ABCは鋭角三角形とする。このとき、各面すべてが△ABCと合同な四面体が 存在することを示せ。[京都大] 赤チャの解説、ちょっと俺の頭には理解できません。 星５つの最難問です。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り２００６／１／１２
from=Cononymous Award
このとき、四面体 A'-ABC の各面は合同です。
お便り２００６／９／２
from=平 昭
面白い問題で、感心しました。
まず、△ABCと、頂点がこの順に対応して合同な△ａｂｃを、紙を切り抜いたような形
で与えられた、と想像してみました。この二つをどうつなぎ合わせたら、題意に合うよう
な四面体作りにつながるでしょうか。（四面体というからには、△を四つつなぐのです
が、まずは最初の二つです。）
まず考えたのは、頂点Ａとａ、Ｂとｂを重ね合わせることです。
ですが、これではうまく行きません。
△(Ａａ）Ｃｃ(頂点Ａとａを重ねたのでこう書きました）を考えると、
辺(Ａａ）Ｃの長さ＝辺(Ａａ）ｃの長さ、
となって、二等辺三角形ができてしまいます。元の△ABCが二等辺三角形だ、などという
条件はありませんから、失敗です。
となると、やり方は、ほかに一つしかありません。つまり、Ａとｂ、Ｂとｂを重ね合わ
せるのです。こうすると、
△(Ａｂ）Ｃｃにおいて、
(Ａｂ）Ｃ＝ＡＣ、（Ａｂ）ｃ＝ｂｃ＝ＢＣ
で、△(Ａｂ）Ｃｃと△ＡＢＣは２辺の長さが等しくなりました。
△(Ｂａ）Ｃｃにも同様のことが言えます。）
こうなると、後はＣｃ＝ＡＢとなるようにｃの位置を決められれば、各面が全て合同な
四面体の完成です。いや、問題からして、そのように決められるに違いない。そのことを
証明すればよいわけです。
ところで、ここで忘れてはいけないことがあります。問題には、
「△ＡＢＣは鋭角三角形」と条件がついていました。この条件は、どう効いてくるので
しょう。また、数式で、この条件をどう表したらよいでしょうか。
このあたりまで考えると、次のような解答が浮かびました。
鋭角三角形ＡＢＣにおいて、
Ａを原点（０、０）とし、Ｂ（１、０）、Ｃ（α、β）かつβ＞０となるようにｘｙ座標
を取る。
角Ａ＜π/2よりα＞０………①
角Ｂ＜π/2よりα＜１………②
また、角Ｃ＜π/2と、円周角の定理より、ＣはＡＢを直径とする円の外部にあるから
（α－1/2）^2＋β^2＞1/4………③
ここで、点Ｄ（１－α、β）を考えると、
△ＡＢＣ≡△ＢＡＤは明らか。
さらに、Ｄをｘ軸の周囲に角θだけ回転させた点をＤ（θ）とする。
当然、△ＡＢＣ≡△ＢＡＤ≡△ＢＡＤ（θ）………④
ここで、△ＡＢＣと△ＣＤ（θ）Ａを考えると、任意のθについて
ＡＣ＝ＣＡ（共通）かつ、ＢＣ＝ＡＤ＝Ｄ（θ）Ａ………⑤
が成り立つ。
また、ＣとＤ（θ）の距離をｄ（θ）と置けば、
ｄ（０）^2＝（２α－１）^2＜１………条件①と②より。
ｄ（π）^2＝（２α－１）^2＋４β^2
＝４{（α－1/2）^2＋β^2}＞１………条件③より。
そこで、 ｄ（０）＜１＜ｄ（π）
ｄは明らかにθの連続関数だから、中間値の定理より………★
０＜φ＜πなるあるφに対し、ｄ（φ）＝１
この時、ＣＤ（Φ）＝１＝ＡＢで、
⑤を考えれば△ＡＢＣ≡△ＡＤ（Φ）Ｃ………⑥
となる。
同様に、△ＡＢＣ≡△ＡＤ（Φ）Ｂ………⑦
④、⑥、⑦により、四面体△ＡＢＣＤ（Φ）の各面の三角形全てが互いに合同である
ことが示せた。
証明終わり。
★ 中間値の定理というと高級なようですが、一本のひもの両端を持った人がそれぞれ、
道のこっちと向こうに立っていれば、ひもが切れていない限り、ひもは道と交わってい
る、ということを表しているだけです。まあ、連続の定義のようなものです。
それにしても、ていねいに証明を書くと面倒ですねえ(^_^;)