質問＜２８０１＞２００６／１／１
from=みにこ
「三角比の連立方程式」

0°≦x≦90°・0°≦ｙ≦90°のとき、
連立方程式sinx＋cosy＝√3
　　　　　cosx＋siny＝1
の解を求めよ

・・・という問題です。お願いします。

★希望★完全解答★

お返事２００６／１／１
from=武田

0°≦x≦90°・0°≦ｙ≦90°より、ｘとｙは第１象限の角です。
連立を解いて、
｛sinx＋cosy＝√3………①
｛cosx＋siny＝1　………②
①・cosｘ－②・sinｘより
cosｘcosｙ－sinｘsinｙ＝√３cosｘ－sinｘ
cos（ｘ＋ｙ）＝２sin（６０°－ｘ）………③

①の２乗＋②の２乗より
（sinｘ）^2＋２sinｘcosｙ＋（cosｙ）^2＝３
（cosｘ）^2＋２cosｘsinｙ＋（sinｙ）^2＝１
１＋２（sinｘcosｙ＋cosｘsinｙ）＋１＝４
sinｘcosｙ＋cosｘsinｙ＝１
sin（ｘ＋ｙ）＝１………④

③の２乗＋④の２乗より
１＝４sin^2（６０°－ｘ）＋１
４sin^2（６０°－ｘ）＝０
sin（６０°－ｘ）＝０
６０°－ｘ＝０°
ｘ＝６０°………⑤

⑤を④に代入して、
sin（６０°＋ｙ）＝１
６０°＋ｙ＝９０°
ｙ＝３０°

したがって、ｘ＝６０°、ｙ＝３０°……（答）

お便り２００６／１／６
from=みにこ

2801の問題についてまた質問させていただきます。
cosxcosy－sinxsiny＝√3cosx－sinyは、どうやったら
cos(x＋ｙ)＝2sin（60°－ｘ）になるのですか？
超基本的なことですいません・・・

お返事２００６／１／６
from=武田

右辺の最後の式は、sinｙではなくて、sinｘです。

cosｘcosｙ－sinｘsinｙ＝√３cosｘ－sinｘが何故、
cos（ｘ＋ｙ）＝２sin（６０°－ｘ）になったかと言うことですが、

左辺は、公式cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβから出ます。
左辺＝cosｘcosｙ－sinｘsinｙ＝cos（ｘ＋ｙ）

右辺は、cosｘとsinｘの係数を２乗して加え、平方根の正の方を取ると、
√３cosｘ－sinｘより、√｛（√３）^2＋（－１）^2｝＝２
公式sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβと、
sin６０°＝√３／２、cos６０°＝１／２より、
右辺＝√３cosｘ－sinｘ
　　＝２｛（√３／２）cosｘ＋（－１／２）sinｘ｝
　　＝２（sin６０°cosｘ－cos６０°sinｘ）
　　＝２sin（６０°－ｘ）

したがって、
cos（ｘ＋ｙ）＝２sin（６０°－ｘ）……（答）